D’abord, PROBATOIRE C 2006 se révise mieux sur Ndolomath avec un sujet clair. Ensuite, il suit la définition de l’examen et aide à se préparer. Puis, te fait travailler méthode, calculs et rédaction sans te presser. Enfin, il t’entraîne à gérer le temps comme le jour de l’épreuve.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2006
Exercice 1:4 points
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes
1. $\sqrt{4-x}=x-2.$ 1 pt
2. $\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x-1=0.$ 1 pt
3. Sept élèves d’une classe de Première $C$, parmi lesquels trois filles, veulent constituer des groupes de travail. Chaque groupe comporte trois élèves choisis au hasard parmi sept.
Trouver le nombre de groupes possibles ayant exactement 2 filles. 1 pt
4. Pour les questions i) et 2 i), on considère le tableau suivant représentant les notes des élèves de Première $C$ en mathématiques:
$ \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Notes sur 20} & 4 & 7 & 10 & 13 & 16\\ \hline \text{Nombre d’élèves (effectif)} & 6 & 5 & 7 & 4 & 7\\ \hline \end{array} $
i) La médiane de cette série statistique est égale à :
a): $13$ ; b): $7$ ; c): $10$ ; d): $11$ .
Indiquer la bonne réponse 0,5 pt
2i) Calculer la troncature d’ordre $2$ de l’écart type de cette série. 1,5 pt
Exercice 2:5 points
Le plan est orienté. L’unité de longueur est le centimètre. On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=10$, $BC=4$, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}$.
$E$ est le point du segment $[DC]$ tel que $DE=2$.
1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EB}$. 1 pt
2. On note $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $MA^2+MB^2=100$.
a) Démontrer que $(\Gamma)$ est un cercle dont on précisera le centre $I$ et le rayon $r$. 1 pt
b) Montrer que le point $E$ appartient à $(\Gamma)$. 0,5 pt
c) Tracer le cercle $(\Gamma)$. 0,5 pt
3. On considère la rotation $r$ de centre $E$ et d’angle $(\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB})$
a) Construire le point $I’$, image de $I$ par $r$. 0,5 pt
b) Préciser la nature de $(\Gamma’)$ image de $(\Gamma)$ par $r$. 0,5 pt
c) Montrer que les cercles $(\Gamma)$ et $(\Gamma’)$ sont sécants. 0,5 pt
d) Tracer $(\Gamma’)$ sur la même figure. 0,5 pt
Problème:11 points
Le problème comporte deux parties $A$ et $B$ indépendantes.
Partie A5.5 points
On considère la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$, définie par $U_0=1$ et pour tout entier naturel $n$
$U_{n+1}=0,5U_n+0,25$
1. Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$. 1 pt
2. On définit la suite $(W_n)$ par: $W_n=U_n-0,5$.
a) Démontrer que $(W_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 1 pt
b) En déduire en fonction de $n$ les expressions de $W_n$, puis $U_n$. 1 pt
3. Préciser le sens de variation des suites $(W_n)$ et $(U_n)$. 1 pt
4. On pose $S_n=\sum_{k=0}^{n}W_k=W_0+W_1+\ldots+W_n$.
Exprimer $S_n$ en fonction de $n$. 1,5 pt
Partie B5,5 points
La fonction $f$ de la variable réelle $x$ est définie sur $D_f=]-\infty,0[\cup]0,+\infty[$ par:
$f(x)=\dfrac{-x^2+x+1}{x}$.
$(C)$ désigne la courbe de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan.
1. a) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. 1 pt
b) Déterminer la dérivée $f’$ de $f$. 0,5 pt
c) Dresser le tableau de variations de $f$. 0,5 pt
2. a) Montrer que $f(x)=-x+1+\dfrac{1}{x}$ et vérifier que $(C)$ admet une asymptote oblique $(D)$ d’équation $y=-x+1$. 0,5 pt
b) Préciser suivant les valeurs de $x$, la position de $(C)$ par rapport à $(D)$. 0,5 pt
3. $\lambda$ désigne un nombre réel. On considère l’équation $(E):\ f(x)=\lambda$.
a) Résoudre $(E)$ pour $\lambda=0$. 0,5 pt
b) Tracer $(C)$. 1,5 pt
c) Déterminer en utilisant le graphique précédent, l’ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l’équation $(E)$ n’a pas de solution dans l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2006
Conclusion du PROBATOIRE C 2006
D’abord, PROBATOIRE C 2006 te rappelle qu’une bonne copie se construit question par question. Ensuite, relis chaque étape calmement, et vérifie tes calculs avant de passer. Puis, PROBATOIRE C 2006 montre l’importance de rédiger proprement et de justifier tes réponses. Enfin, avec Ndolomath, continue à t’entraîner régulièrement, et garde confiance jusqu’au jour J.
