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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2005
Exercice 13 points
L’unité de longueur est le centimètre.
$ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $BC=2$ et $AC=3$ ;
$I$ est le barycentre du système $\{(A,2);(B,5);(C,-3)\}$.
$J$ est le point du plan tel que $\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BJ}=-\overrightarrow{BC}$.
1. Montrer que le point $J$ est un barycentre des points $B$ et $C$ affectés des coefficients que l’on déterminera. 0,5 pt
2. Démontrer que les points $A$, $I$ et $J$ sont alignés. 0,5 pt
3. a) Placer les points $I$ et $J$. 0,5 pt
3. b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble $C$ des points $M$ du plan tels que $AM^2+JM^2=35$. 1 pt
3. c) Tracer $C$. 0,5 pt
Exercice 23 points
1. Écrire $(1+\sqrt{3})^2$ sous la forme $a+b\sqrt{3}$. 0,25 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $(I’)$ : $x^2+(\sqrt{3}-1)x-\sqrt{3}<0$. 1 pt
3. Déduire dans $]-\pi;\pi[$, l’ensemble des solutions de l’inéquation $(I)$ : $\tan^2\alpha+(\sqrt{3}-1)\tan\alpha-\sqrt{3}<0$. 1,25 pt
4. Une porte est équipée d’une serrure à code comportant un dispositif muni des touches $1,2,\ldots,9$ et des lettres $A,B,C$ et $D$. Un code est formé de trois chiffres distincts puis de deux lettres non nécessairement distinctes.
Combien de codes différents peut-on former ? 0,5 pt
Exercice 33 points
$ABCDEFGH$ est un cube de centre $O$ tel que $AB=1$.
1. Justifier que les droites $(GF)$ et $(HC)$ sont orthogonales. 0,5 pt
L’espace est rapporté au repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})$.
2. a) Déterminer les coordonnées des points $G$, $F$, $H$ et $C$ dans ce repère. 1 pt
2. b) Calculer $\overrightarrow{GF}\cdot\overrightarrow{HC}$. En déduire que les droites $(GF)$ et $(HC)$ sont orthogonales. 0,5 pt
3. a) Déterminer une équation cartésienne de la sphère inscrite dans le cube (elle est tangente à toutes les faces du cube). 0,5 pt
3. b) Déterminer la nature, puis le volume de $AHDCBG$. 0,5 pt
Problème11 points
Les trois parties du problème sont indépendantes. Le candidat se doit de traiter chacune d’elles.
Partie A5,75 points
$f$ est la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie par : $f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}$.
1. a) Calculer les limites de $f$ à gauche de $-2$ ; à droite de $-2$ et en $+\infty$. 0,75 pt
1. b) Étudier les variations de $f$ sur $]-2;+\infty[$ et dresser son tableau de variation. 0,75 pt
2. a) Déterminer les coordonnées des points de rencontre de la courbe $C_f$ de $f$ et de la droite d’équation $y=x$. 0,75 pt
2. b) Représenter graphiquement la partie de la courbe de $f$ correspondant aux abscisses supérieures à $-2$ dans un repère orthonormé du plan. Unité sur les axes : $2$ cm. 0,5 pt
3. Soit $g$ la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie sur $]-2;+\infty[$ par : $g(x)=2-|f(x)|$.
3. a) Donner un programme de construction de la courbe $C_g$ de $g$ à partir de celle de $f$. 0,5 pt
3. b) Tracer $C_g$. 0,5 pt
4. $U_n$ est la suite définie par : $U_0=0$ et $U_{n+1}=\dfrac{U_n+1}{U_n+2}$ pour tout entier naturel $n$.
4. a) Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$. 0,75 pt
4. b) Construire sur l’axe des abscisses du repère les cinq premiers termes de $(U_n)$. 0,75 pt
4. c) En déduire une conjecture sur le sens de variation et la convergence de la suite $(U_n)$. 0,5 pt
Partie B3,25 points
Le tableau ci-dessous indique la puissance $x$ en chevaux et la cylindrée $y$ (en $cm^3$) de huit voiture à moteur Diesel.
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Numéro voiture} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline \text{Puissance } X & 35 & 55 & 60 & 60 & 65 & 70 & 72 & 75\\ \hline \text{Cylindrée } Y & 1000 & 1600 & 1800 & 1700 & 1900 & 2000 & 2100 & 2500\\ \hline \end{array} $
1. a) Représenter le nuage de la série $(x;y)$. (Choisir sur l’axe des abscisses $1$ cm pour $10$ chevaux et sur l’axe des ordonnées $2$ cm pour $1000\,cm^3$). 1 pt
1. b) Le nuage ainsi représenté laisse-t-il entrevoir un ajustement linéaire ? 0,5 pt
2. Calculer la puissance moyenne et la cylindrée moyenne des huit voitures. 0,5 pt
3. Sachant que la covariance du couple $(x;y)$ vaut $4662{,}5$ :
3. a) Écrire une équation cartésienne de la droite de régression de $x$ en $y$. 0,75 pt
3. b) Donner une estimation au cheval près de la puissance d’un moteur de cylindrée $3500\,cm^3$. 0,5 pt
Partie C2 points
On considère deux cercles $C$ et $C’$ de même rayon, de centre respectifs $O$ et $O’$, sécants en deux points $A$ et $B$. On considère la rotation $r$ de centre $A$ qui transforme $O$ en $O’$.
1. Déterminer l’image de $C$ par $r$. 0,5 pt
2. On désigne respectivement par $C$ et $D$ les points diamétralement opposés à $A$ sur $C$ et $C’$.
2. a) Montrer que $r(C)=D$. 0,25 pt
2. b) Montrer que les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés. 0,25 pt
3. Soit $M$ un point de $C$ autre que $A$ et $B$. On pose $M’=r(M)$.
3. a) Comparer les angles $(AC,AM)$ et $(AD,AM’)$. 0,5 pt
3. b) En déduire une construction simple du point $M’$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2005
Conclusion du PROBATOIRE C 2005
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