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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2004
Exercice 1 :3 points
1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système : $ \begin{cases} x-y-z=0 \\ y-2z=0 \\ 5x+4y+3z=52000 \end{cases} $ 1,5 pt
2. On partage une somme de 52000 FCFA entre 5 hommes, 4 femmes et trois enfants.
La part de chaque homme est égale à la somme des parts d’une femme et d’un enfant.
La part de chaque femme est le double de celle d’un enfant.
Calculer ce que reçoivent un homme, une femme et un enfant. 1,5 pt
Exercice 2 :3 points
On compare les séries statistiques formées par les revenus mensuels disponibles des ménages dans deux régions distinctes (revenu en milliers de francs, nombre de ménages en milliers).
Région 1
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Classes de revenus} & [5;8[ & [8;12[ & [12;20[ & [20;30[ \\ \hline \text{Effectifs} & 60 & 100 & 80 & 30 \\ \hline \end{array} $
Région 2
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Classes de revenus} & [5;10[ & [10;15[ & [15;22[ & [22;30[ \\ \hline \text{Effectifs} & 50 & 60 & 140 & 20 \\ \hline \end{array} $
1. Représenter, sur un même graphique, les deux séries statistiques par leurs histogrammes respectifs. 1 pt
2. Calculer le revenu moyen pour chacune d’elles et le marquer sur le graphique. 1 pt
3. Calculer l’écart type de chaque série statistique. 1 pt
Exercice 3 :3 points
Une entreprise de fabrication de magnétoscopes a étudié les chiffres de sa production pendant 10 années consécutives numérotées de 1 à 10.
$P_i$ désigne la production en milliers d’unités de l’année $i$.
Les rapports $ \dfrac{P_{i+1}-P_i}{P_i} $ sont constants et égaux à $0,1$.
$1 \le i \le 10$.
1. La production $P_1$ étant de 20 milliers d’unités, calculer $P_2$ et $P_3$. 1 pt
2. a) Pour tout entier naturel $n$ tel que : $2 \le n \le 10$, trouver une relation liant $P_n$ et $P_{n-1}$. 0,5 pt
b) En déduire une relation simple liant $P_n$ et $P_1$ et la valeur exacte de $P_{10}$. 1 pt
c) Calculer la production totale de l’entreprise au cours des dix premières années. 0,5 pt
Problème :11 points
Le problème comporte trois parties indépendantes, le candidat devra traiter chacune des parties.
Partie A3 points
On considère dans $[0;2\pi]$ les équations :
$(E)$ : $\sin x \cos x + \cos^2 x = \cos 2x$
et $(E’)$ : $\sin^2 x + \sin x \cos x = 0$.
1. a) Montrer que les équations $(E)$ et $(E’)$ sont équivalentes dans $[0;2\pi]$. 1 pt
b) Résoudre dans $[0;2\pi]$ l’équation $(E)$. 1 pt
2. Placer sur le cercle trigonométrique les points images des solutions de cette équation. On prendra 3 cm comme unité de longueur. 1 pt
Partie B5 points
1. On considère la fonction numérique d’une variable réelle $x$ définie dans $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par : $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O,i,j)$.
a) Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation. 1,25 pt
b) Démontrer que le point $O'(1,1)$ est centre de symétrie de $C_f$. 0,75 pt
c) Tracer $C_f$. 1 pt
2. a) Résoudre graphiquement le système $-1<\dfrac{x+2}{x-1}\le 3$. 1 pt
b) Retrouver les résultats algébriquement. 1 pt
Partie C3 points
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on donne le point $A(4;-3;5)$ et le plan $(P)$ d’équation cartésienne : $3x-2y+z+5=0$.
1. Montrer que le vecteur $n(3;-2;1)$ est un vecteur normal au plan $(P)$. 0,5 pt
2. $(D)$ est la droite passant par $A$ et orthogonale à $(P)$.
a) Déterminer une représentation paramétrique de $(D)$. 1 pt
b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection $H$ de la droite $(D)$ et $(P)$. 1 pt
3. En déduire la distance de $A$ à $(P)$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2004
Conclusion du PROBATOIRE C 2004
D’abord, relisez les consignes et repérez les points importants avant de répondre. Ensuite, PROBATOIRE C 2004 vous entraîne à écrire proprement et à justifier vos étapes. Puis, vérifiez chaque résultat et gardez un rythme régulier jusqu’à la fin. Enfin, Ndolomath vous accompagne pour rester confiant pendant le PROBATOIRE C 2004.
