Probatoire C 2003 en maths

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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2003

Exercice 15 points

On rappelle que si $(C)$ et $(C’)$ sont deux cercles de centres respectifs $\Omega$ et $\Omega’$ et de rayons respectifs $r$ et $r’$, $(C)$ et $(C’)$ ont deux points communs si et seulement si $|r-r’|<\Omega\Omega'

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O,i,j)$, le point $B$ a pour coordonnées $(4;4)$.

On note $(C)$ l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

On note aussi $(C’)$ le cercle d’équation cartésienne $x^2+y^2-9x-4y+18=0$.

1. Écrire une équation cartésienne de $(C)$ et en déduire que $(C)$ est un cercle dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon $r$. 1,5 pt

2. Préciser le centre $\Omega’$ et le rayon $r’$ de $(C’)$. 1 pt

3. Démontrer que ces deux cercles sont sécants. 1 pt

4. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de ces deux cercles. 1,5 pt

Exercice 24 points

Chacune des questions qui vous sont proposées est accompagnée de quatre réponses parmi lesquelles une seule est juste ; écrivez-la sur votre feuille sans autre justification.

Questions 1 à 4

1. Dans l’espace rapporté à un repère $(O,i,j,k)$, la distance du point $A(1,-2,3)$ au plan d’équation cartésienne $x-2y+4z-4=0$ est égale à : 0,5 pt

a) $\dfrac{31}{21}$ ; b) $\dfrac{5}{21}$ ; c) $\dfrac{13}{21}$ ; d) $\dfrac{13}{21}$.

2. La suite de terme général $U_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n$ est : 0,5 pt

a) croissante ; b) décroissante ; c) constante ; d) ni croissante ni décroissante.

3. Une urne contient 7 boules dont 3 noires. On tire successivement et avec remise 5 boules de cette urne. Le nombre de tirages contenant une seule boule noire est égal à : 0,5 pt

a) 243 ; b) 3840 ; c) 2401 ; d) 1280.

4. Le système linéaire $\begin{cases}x+2y+z=2\\x-y-z=-4\\x-4y-5z=-6\end{cases}$ a pour unique solution : 0,5 pt

a) $(1;2;-3)$ ; b) $(-1;5;-1)$ ; c) $(1;2;3)$ ; d) $(-1;-2;3)$.

Question 5 : Tableau de variation

5. La fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ est donnée par son tableau de variation ci-contre.

La fonction $g$ est telle que, pour tout $x$ de $[-3;2]$, $g'(x)=\dfrac{f'(x)}{x^2}$. 0,5 pt

a) $g$ est croissante sur $[-3;2]$ ; b) $g$ est décroissante sur $[-3;2]$ ; c) $g$ n’est pas monotone sur $[-3;2]$ ; d) $g$ est constante sur $[-3;2]$.

Question 6 : Statistiques

6. A partir d’une enquête portant sur le nombre d’enfants de 200 familles d’un quartier, on a établi le tableau statistique ci-dessous : 0,5 pt

Les chiffres $a$ et $b$ sont respectivement :

a) 116 et 198 ; b) 106 et 195 ; c) 112 et 158 ; d) 126 et 208.

Question 7 : Suite géométrique

7. On considère la suite géométrique $(V_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de terme général $V_n=3(1,01)^n$.

On pose $S_n=\sum_{k=0}^{n-1}V_k$ ; alors $S_n$ est égale à : 0,5 pt

a) $\dfrac{3-3(1,01)^n}{0,01}$ ; b) $\dfrac{3(1-0,01^n)}{0,01}$ ; c) $\dfrac{3(1-0,01^{n+1})}{0,01}$ ; d) $\dfrac{3(1,01^n-1)}{0,01}$.

Question 8 : Application linéaire

8. $f$ est une application du plan vectoriel $E_2$, muni d’une base $(i,j)$, dans lui-même. La matrice de $f$ dans la base $(i,j)$ est $\begin{pmatrix}2&1\\-3&-1,5\end{pmatrix}$. Un vecteur $U$ du noyau de $f$ est : 0,5 pt

a) $U=i+2j$ ; b) $U=i-2j$ ; c) $U=-i-2j$ ; d) $U=2i+j$.

Problème11 points

Le problème comporte trois parties.

Partie A3,5 points

1. Déterminer les valeurs exactes du cosinus et du sinus de $\dfrac{11\pi}{6}$. 0,5 pt

2. En déduire que $\cos^2\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)=\dfrac{2+\sqrt3}{4}$ et que $\sin^2\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)=\dfrac{2-\sqrt3}{4}$. 1 pt

3. Déterminer les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)$ en justifiant les réponses. 1 pt

4. Résoudre dans l’intervalle $[0;2\pi]$ l’équation : $\sqrt{2-\sqrt3}\sin x-\sqrt{2+\sqrt3}\cos x=-\sqrt2$. 1 pt

Partie B4,5 points

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ différent de $-1$ par $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x+1}$.

1. a) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$, puis à gauche et à droite de $-1$. 1 pt

b) Calculer la dérivée de $f$. 0,25 pt

c) Dresser le tableau de variation de $f$. 0,5 pt

2. a) Déterminer trois réels $A$, $B$ et $C$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{C}{x+1}$. 0,75 pt

b) En déduire que la courbe $(C)$ de $f$ dans un repère orthonormé admet une asymptote oblique dont on précisera, suivant les valeurs de $x$, la position par rapport à $(C)$. 1 pt

c) Tracer $(C)$. 1 pt

Partie C3 points

Dans le plan orienté, on considère un losange $ABDC$ tel que le triangle $ABC$ soit équilatéral et direct (c’est-à-dire qu’une mesure en radians de l’angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est $\dfrac{\pi}{3}$).

On note $O$ isobarycentre du triangle équilatéral $BCD$ et $A’$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$.

1. a) Réaliser la figure. 0,5 pt

b) Déterminer une mesure en radians de chacun des angles orientés $(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BC})$ et $(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA})$. 0,5 pt

2. Démontrer que $O$ appartient à la médiatrice du segment $[AA’]$. 1 pt

3. Démontrer qu’il existe une rotation qui transforme $C$ en $B$ et $A$ en $A’$ et déterminer son angle et son centre. 1 pt

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Épreuve de mathématiques — Probatoire C session 2003

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Conclusion du PROBATOIRE C 2003

D’abord, PROBATOIRE C 2003 te rappelle l’importance d’une lecture calme avant de te lancer. Ensuite, avance proprement, et note tes résultats au fur et à mesure. Puis, garde une méthode régulière sur Ndolomath pour progresser sans pression. Enfin, PROBATOIRE C 2003 devient plus simple quand tu t’entraînes souvent et avec confiance.