D’abord, PROBATOIRE C 2002 te guide étape par étape avec Ndolomath. Ensuite, PROBATOIRE C 2002 s’inscrit dans le cadre décrit par définition de l’examen. Puis, PROBATOIRE C 2002 te fait travailler suites, fonctions et géométrie avec un barème clair. Enfin, PROBATOIRE C 2002 se réussit en allant du simple au plus long, sans se précipiter.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2002
ACTIVITES NUMERIQUES :9 points
Exercice 1:4 points
La suite $(U_n)$ est définie par $U_0=4$ ; $U_{n+1}=\dfrac{1}{3}U_n+\dfrac{2}{3}$ et la suite $(V_n)$ par $V_n=U_n-1$.
1. Représenter graphiquement les quatre premiers termes de $(V_n)$. 1,25 pt
2. a) Démontrer que $(V_n)$ est une suite géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. 1 pt
b) Calculer $V_n$ et $U_n$ en fonction de $n$. 1 pt
c) Calculer la valeur exacte de $3\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{3^9}\right)$. 0,75 pt
Exercice 2:5 points
Chacune des questions qui vous sont proposées est accompagnée de quatre réponses parmi lesquelles une seule est juste ; écrivez-la sur votre feuille sans autre justification.
(Barème : 1 point par réponse juste).
1. Soit $f$ la fonction telle que $f(x)=\tan 2x$ ; l’ensemble de définition de $f$ est : 1 pt
a) $R$ ; b) $R\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in Z\right\}$ ; c) $R\setminus\left\{\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2},\ k\in Z\right\}$ ; d) $R\setminus\left\{\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in Z\right\}$
2. Quatre garçons et deux filles veulent constituer un groupe de travail composé de deux garçons et une fille choisis au hasard ; le nombre de groupes possibles est : 1 pt
a) $3$ ; b) $24$ ; c) $48$ ; d) $12$ .
3. $E$ est un plan vectoriel muni d’une base $(i,j)$ ; $f$ et $g$ sont deux applications linéaires de $E$ dans $E$ définies par $f(i)=2i-j$, $f(j)=i+j$ ; $g(i)=i-j$ et $g(j)=3i+j$. La matrice de $f\circ g$ dans la base $(i,j)$ est : 1 pt
a) $\begin{pmatrix}1&7\\2&2\end{pmatrix}$ ; b) $\begin{pmatrix}1&7\\-2&2\end{pmatrix}$ ; c) $\begin{pmatrix}1&7\\-2&-2\end{pmatrix}$ ; d) $\begin{pmatrix}1&7\\2&-2\end{pmatrix}$
4. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $(O,i,j,k)$, le plan $(P)$ a pour équation cartésienne $x+2y+z-1=0$. Le plan parallèle à $(P)$ et passant par $A(1,1,2)$ a pour équation cartésienne : 1 pt
a) $x+2y+z-5=0$ ; b) $x+2y+z-2=0$ ; c) $x+2y+z+5=0$ ; d) $x+2y+z-1=0$
5. Dans un repère orthonormé $(O,i,j)$ du plan, $(C)$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $2$ et $A$ le point de coordonnées $(1;\sqrt{3})$. La tangente à $(C)$ au point $A$ a pour équation cartésienne : 1 pt
a) $x+\sqrt{3}y+4=0$ ; b) $x-\sqrt{3}y+4=0$ ; c) $-x+\sqrt{3}y+4=0$ ; d) $x+\sqrt{3}y-4=0$
PROBLEME:11 points
Le problème comporte deux parties indépendantes $A$ et $A$ .
Partie A5,5 points
Dans le plan orienté, on considère un carré $ABCD$ de centre $O$ tel que $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}$ ; on construit les points $E$, $F$, $G$ et $H$ respectivement sur les segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$ tels que $AE=BF=CG=DH$.
On note $r$ la rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $B$.
1. a) Réaliser la figure en prenant $AB=5\,cm$ et $AE=2\,cm$. 0,5 pt
b) Déterminer l’angle de $r$ en justifiant votre réponse. 0,75 pt
c) Recopier et compléter le tableau de correspondance suivant : 1,25 pt
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Objet} & B & C & D & [AB] & E\\ \hline \text{Image par } r & & & & & \\ \hline \end{array}$
2. a) En utilisant la relation de Chasles, démontrer que le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ est nul. 1 pt
b) Quelle est la nature exacte du quadrilatère $EFGH$ ? Justifier votre réponse. 1 pt
3. Déterminer l’aire du quadrilatère $EBFO$ en fonction de celle du carré $ABCD$. 1 pt
Partie B5,5 points
On considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie dans $R\setminus\{3\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-5x+10}{x-3}$.
On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,i,j)$ du plan.
1. a) Vérifier que, pour tout $x$ de $R\setminus\{3\}$, $f(x)=\dfrac{x^2-9+9-5(x-3+3)+10}{x-3}$. 0,5 pt
b) En déduire qu’il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x$ de $R\setminus\{3\}$, $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-3}$. 0,75 pt
2. Dresser le tableau de variation de $f$. 1,25 pt
3. Vérifier que $(C)$ possède une asymptote oblique $(D)$ et donner en fonction de $x$ les positions relatives de $(C)$ et de $(D)$. 1 pt
4. Tracer $(C)$. 1 pt
5. On note $A$ le point de $(C)$ d’abscisse $2$.
a) Ecrire une équation cartésienne de la tangente $(D’)$ à $(C)$ en $A$. 0,25 pt
b) existe-t-il des points de $(C)$ en lesquels les tangentes à $(C)$ sont perpendiculaires à $(D’)$ ? Si oui, déterminer leurs abscisses. 0,75 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2002
Conclusion du PROBATOIRE C 2002
D’abord, commence par sécuriser les QCM et les questions courtes, puis avance progressivement. Ensuite, relis tes calculs et garde les notations propres jusqu’à la fin. Puis, Ndolomath t’aide à t’entraîner régulièrement et à mieux gérer le temps. Enfin, PROBATOIRE C 2002 se joue sur la méthode, et PROBATOIRE C 2002 récompense la rigueur.
