Probatoire C 2001 en maths

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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2001

Exercice 1:3,5 points

On considère deux suites numériques $(U_n)$ et $(V_n)$ définies de la manière suivante :

$U_1=\dfrac{1}{3}$ ; $U_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n}\,U_n$ et $V_n=\dfrac{U_n}{n}$.

1. Calculer $U_2$, $U_3$ et $U_4$. 0,75 pt

2. Démontrer que $(V_n)$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. 1 pt

3. En déduire les expressions de $V_n$ et $U_n$ en fonction de $n$. 1 pt

4. Calculer $S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{27}+\cdots+\dfrac{1}{59049}$. 0,75 pt

Exercice 2 :5,5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,i,j)$. Soit $f$ une fonction rationnelle dont la courbe représentative $(C)$ est donnée ci-dessous.

1. Faire des conjectures sur :

a) L’ensemble de définition de $f$. 0,5 pt

b) les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 0,5 pt

c) les asymptotes à $(C)$. 0,5 pt

d) le tableau de variation de $f$. 0,5 pt

2. Quelles sont les solutions dans $\mathbb{R}$ :

a) des équations $f(x)=0$ ; $f(x)=1$ ; $f(x)=2$ ? 0,75 pt

b) des inéquations $f(x)\ge 0$ ; $f(x)\le -2$ ? 1 pt

3. Tracer dans un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction $-f$. 0,75 pt

4. La fonction $f$ est définie par $f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{x^2+cx+d}$, déterminer $a$, $b$, $c$ et $d$. 1 pt

Problème:11 points

Le problème comporte deux parties indépendantes $A$ et $B$.

Partie A5 points

La figure ci-contre représente un cube $ABCDEFGH$.

1. En utilisant le produit scalaire et l’égalité $AG=AD+DG$, démontrer que la droite $(AG)$ est perpendiculaire au plan $(CFH)$. 1 pt

2. On suppose que $AB=1$ et on pose $AB=\vec{i}$, $AD=\vec{j}$ et $EA=\vec{k}$. Démontrer que $(A,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un repère orthonormé de l’espace. 1 pt

3. a) Déterminer dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ les coordonnées des vecteurs $AG$, $CF$ et $FH$. 1 pt

b) Retrouver le résultat de la question 1. 0,5 pt

c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $(AG)$ et $(CFH)$ et en déduire la distance du point $A$ au plan $(CFH)$. 1,5 pt

Partie B6 points

Le plan affine euclidien orienté est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,i,j)$. $C$ désigne le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. On note $I(1;0)$, $J(0;1)$ et $K(-1;0)$. $A$ est le milieu du segment $[OK]$. $C’$ désigne le cercle de centre $A$ passant par $J$.

1. a) Ecrire une équation cartésienne de $C’$. 1 pt

b) $C’$ rencontre l’axe des abscisses en deux points dont l’un, noté $B$, a une abscisse positive $x_B$. 1 pt

2. On désigne par $C$ le milieu du segment $[OB]$, la perpendiculaire en $C$ à l’axe des abscisses coupe le cercle $C$ en deux points dont l’un, noté $M$, a une ordonnée positive. On pose $\alpha=(i,OM)$.

a) Démontrer que $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$. 1 pt

b) En déduire $\sin\alpha$, $\cos2\alpha$ et $\cos3\alpha$. 1,5 pt

3. a) Résoudre dans l’intervalle $]0,\dfrac{\pi}{2}[$ l’équation $\cos2x=\cos3x$. 0,5 pt

b) En déduire la valeur exacte de $\alpha$. 1 pt

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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2001

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