PC : 4ème Séquence en maths

Exercice 1 : 5 points

Sous-titre : Équation trigonométrique

1. Soit l’équation (E) : $\sin 3x=\sin 2x$
   1. Résoudre dans $]-\pi;\,\pi[$ l’équation (E). 1pt
   2. Représenter les solutions de (E) sur le cercle trigonométrique. 0,75 pt
2. 1. Démontrer que $\forall x\in\mathbb{R},\ \sin 3x=\sin x(4\cos^2 x-1)$. 1pt
   2. En déduire que : {$x$ est solution de (E) } équivaut à { {$x$ est solution de l’équation $\sin x(4\cos^2 x-2\cos x-1)=0$ }. 0,75 pt
   3. Parmi les solutions trouvées pour (E), lesquelles sont solutions de : $4\cos^2 x-2\cos x-1=0$ ? 0,5 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4X^2-2X-1=0$ et en déduire les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{5}$ et $\cos\frac{3\pi}{5}$. 1pt

Exercice 2 : 4 points

Sous-titre : Transformations du plan et repère

Soit $OBC$ un triangle rectangle en $O$ et isocèle de sens direct. On note $H$ le pied de la hauteur du triangle issue de $O$. Soit $S_1$ la symétrie orthogonale d’axe $(OH)$, $S_2$ celle de l’axe $(OB)$ et $S_3$ la symétrie orthogonale d’axe $(OC)$. On note $r_1$ le quart de tour direct centre $O$, $r_2$ la symétrie centrale de centre $H$ et $r_3=r_{(C,\frac{\pi}{2})}$. $(\Gamma)$ est le cercle circonscrit au triangle $OBC$.

1. a) Donner la nature et les éléments caractéristiques de chacune des transformations planes : $S_1\circ S_2$ ; $r_1\circ r_2\circ r_3$. 0,75 pt
   b) Déterminer la droite $(\Delta)$ telle que : $r_3=S_1\circ\Delta\circ S_3$. 0,75 pt
   c) Construire l’image $(\Gamma')$ de $(\Gamma)$ par la rotation $r_3$. 0,5 pt
2. On pose $\vec{i}=\dfrac{\overrightarrow{OB}}{\lVert \overrightarrow{OB}\rVert}$ et $\vec{j}=\dfrac{\overrightarrow{OC}}{\lVert \overrightarrow{OC}\rVert}$.
   1. Établir que $(\vec{i},\vec{j})$ est une base orthonormée directe de l’ensemble $E$ des vecteurs du plan. 0,25 pt
   2. Déterminer l’expression de $\varphi$ de $E$ qui à tout vecteur $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ associe $\varphi(\vec{u})=(6x-18y)\vec{i}+(-12x+4y)\vec{j}$.
      1. Déterminer la matrice $M_\varphi$ de $\varphi$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$, et est-ce un isomorphisme ? 0,75 pt
      2. Montrer que l’ensemble $F=\{\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}\in E\ /\ x+3y=0\}$ est une droite vectorielle engendrée par $\vec{e_1}=3\vec{i}-\vec{j}$. 0,75 pt
      3. Soit une base $(\vec{e_1},\vec{e_2})$ de $E$ avec $\vec{e_2}=\vec{i}+\vec{j}$. Déterminer la matrice $M'$ de $\varphi$ dans la base $(\vec{e_1},\vec{e_2})$. 0,75 pt

Problème : 11 points

Sous-titre : Partie A — 5,75 points

1. $ABC$ est un triangle isocèle en $A$, de hauteur $(AH)$, tel que $AH=BC=4$ (unité : 1 cm). Placer le point $G$ barycentre des points pondérés $(A,2)$, $(B,1)$ et $(C,1)$. 0,5 pt
2. $M$ désigne un point quelconque.
   1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{V}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$ est un vecteur de norme 8. 0,75 pt

Problème : 11 points

Sous-titre : Partie A — 5,75 points

2. 1. Déterminer l’ensemble $(C_1)$ des points $M$ du plan tels que $\left\lVert 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\rVert=\left\lVert\overrightarrow{V}\right\rVert$. Tracer $(C_1)$. 0,75 pt
3. On considère les points pondérés $(A,2)$, $(B,n)$ et $(C,n)$ où $n$ est un entier naturel fixé.
   1. Démontrer que le barycentre $Gिशत{n}$ de ces points existe. Placer $G_0$ et $G_2$. 0,75 pt
   2. Montrer que $G_n$ appartient au segment $[AH]$. 0,75 pt
   3. $(C_n)$ est l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\left\lVert 2\overrightarrow{MA}+n\overrightarrow{MB}+n\overrightarrow{MC}\right\rVert=n\left\lVert\overrightarrow{V}\right\rVert$. Montrer que $(C_n)$ est un cercle qui passe par $A$. Préciser son centre et son rayon, puis tracer $(C_3)$. 1,25 pt
4. En munissant le plan d’un repère orthonormé $(H,\overrightarrow{HC},\overrightarrow{HA})$, déterminer une équation cartésienne de $(C_3)$ puis en déduire une équation de la tangente $(T)$ à $(C_3)$ au point $U\left(\dfrac{3\sqrt{15}}{4},1\right)$. 1 pt

Sous-titre : Partie B — 5,25 points

$f$ et $g$ sont des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=-\dfrac{6}{x^2-2x+4}$ et $g(x)=\dfrac{2x^2-4x+2}{x^2-2x+4}$. $C_f$ et $C_g$ sont leurs courbes respectives dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. 1. Montrer que l’ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ est $\mathbb{R}$. 0,5 pt
   2. Déterminer les variations de $f$, puis dresser son tableau de variation. 1,25 pt
   3. Construire $C_f$. La droite $(D)$ d’équation $x=1$ est axe de symétrie de $C_f$. 0,5 pt
2. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, calculer $g(x)-f(x)$, puis exprimer $g(x)$ en fonction de $f(x)$.
   1. En déduire un programme de construction de la courbe $C_g$ à partir de celle de $f$. 0,5 pt
   2. Tracer sur le même graphique $C_f$ et la courbe $C_g$. 0,5 pt
3. Construire sur le même graphique la courbe représentative de la fonction $h(x)=f(|x|)$. (On utilisera les traits interrompus pour la courbe de $h$) 0,5 pt

EXERCICE I : 6 points

Partie A — Résolution d’équations et calculs

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $|4x+2|>|3-x|$. 0,75 pt
2. On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $(x-1)(x^2-3)=39$.
   1. Écrire 39 sous forme d’un produit de facteurs premiers. 0,25 pt
   2. Trouver alors une solution de l’équation $(E)$ dans l’ensemble des entiers naturels. 0,75 pt
   3. Montrer que cette solution entière est l’unique solution de l’équation $(E)$ dans $\mathbb{R}$. 1 pt
3. Calculer le réel $(1+\tfrac{1}{4})\times(1+\tfrac{1}{5})\times(1+\tfrac{1}{6})\times\cdots\times(1+\tfrac{1}{2015})$. 0,75 pt

Partie B — Polynôme aléatoire

Un dé cubique parfait possède deux faces numérotées 1, deux faces numérotées 3 et deux faces numérotées 5. Un dé cubique parfait B a trois faces numérotées 2, une face numérotée 4 et deux faces numérotées 6. On lance simultanément les deux dés. Le nombre apparu sur la face du dé A est noté $p$ et celui du dé B est noté $q$. On forme ainsi un trinôme du second degré défini pour tout réel $x$ par : $g(x)=x^2+px+q$.

1. Combien de trinômes différents peut-on ainsi former ? 0,5 pt
2. Combien de trinômes n’admettant pas de racines peut-on obtenir ? 1 pt
3. Combien de trinômes admettant deux racines distinctes peut-on obtenir ? 1 pt

EXERCICE II : 4 points

Géométrie et barycentre

$ABC$ est un triangle tel que $AB=2$, $BC=4$ et $AC=2\sqrt{3}$.

1. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier. 0,5 pt
2. Déterminer et construire le barycentre $G$ du système de points pondérés $(A,-1)$, $(B,1)$, $(C,1)$. 1 pt
3. Quelle est la nature du quadrilatère $ACGB$ ? 0,5 pt
4. 1. Exprimer $-MA^2+MB^2+MC^2$ en fonction de $MG$. 1 pt
   2. Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ du plan. 1 pt

Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ du plan tels que $-MA^2+MB^2+MC^2=16$. 1,5 pt

PROBLÈME : 10 points

Partie A — Étude d’une fonction rationnelle (6 points)

On considère la fonction $f$ définie dans $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+3x+3}{x+1}$.

1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 1 pt
2. Calculer la dérivée et dresser le tableau de variation de $f$. 1,5 pt
3. Montrer que la courbe $C_f$ représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ admet une asymptote oblique et une asymptote verticale, puis donner les équations cartésiennes respectives. 1 pt
4. Tracer $C_f$ et ses asymptotes. 0,5 pt
5. Montrer que le point $K(-1,1)$ est le centre de symétrie de $C_f$. 0,5 pt
6. En faisant varier le paramètre réel $m$, discuter graphiquement l’existence, le nombre et le signe des solutions de l’équation $x^2+(m-3)x+3-m=0$. 1 pt

Partie B — Trigonométrie (4 points)

1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $2(\sqrt{2}+b\sqrt{3})^2=5-2\sqrt{6}$. 0,75 pt
2. Résoudre dans $\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]$ l’équation $2\sin^2(x)+(\sqrt{3}+\sqrt{2})\sin(x)+\dfrac{\sqrt{6}}{2}=0$, puis représenter les points images des solutions sur le cercle trigonométrique et calculer l’aire du polygone obtenu. 2 pts
3. En déduire les solutions dans $\left]-\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right]$ de l’inéquation $-2\cos^2(x)+(\sqrt{3}+\sqrt{2})\sin(x)+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\ge 0$. 1,25 pt

EXERCICE 1 : 4,25 points

Algèbre linéaire et endomorphisme

Soit $E$ un plan vectoriel rapporté à une base $(\vec{i},\vec{j})$. Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ défini pour tout $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ par $f(\vec{u})=(-7x-12y)\vec{i}+(4x+7y)\vec{j}$.

1. Déterminer $f(\vec{i})$, puis écrire la matrice de $f$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$. 0,75 pt
2. Déterminer la matrice de l’endomorphisme $g=f\circ f$. 0,5 pt
   En déduire que $g(\vec{u})=7\vec{u}$. Calculer $f(g(\vec{u}))$.
3. On pose $E_1=\{\vec{u}\in E\mid f(\vec{u})=-\vec{u}\}$ et $E_2=\{\vec{u}\in E\mid f(\vec{u})=7\vec{u}\}$.
   1. Montrer que $E_1$ et $E_2$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ et préciser une base $\vec{e_1}$ et $\vec{e_2}$. 1 pt
   2. Vérifier que $(\vec{e_1},\vec{e_2})$ est une base de $E$. Déterminer la matrice de $f$ dans cette base. 1 pt

EXERCICE 2 : 5 points

Étude de fonction rationnelle

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-3x+5}{x^2+x-2}$. $(C_f)$ désigne la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Calculer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de $f$. 1 pt
2. En déduire que $C_f$ admet des asymptotes verticales. Préciser leurs équations. 0,25 pt
3. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x+2}$. 0,75 pt
4. En déduire une équation de l’asymptote oblique $(D)$ de $C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. 0,25 pt
5. Étudier la position relative de $C_f$ et $(D)$. 0,25 pt
6. Calculer $f'(x)$ et donner le tableau de variation de $f$. 0,5 pt
7. Existe-t-il un point $C_0$ où la tangente est parallèle à l’asymptote oblique ? 0,5 pt
8. Tracer $C_f$ et ses asymptotes. 1 pt

EXERCICE 3 : 2,5 points

Géométrie plane et trigonométrie

$ABC$ est un triangle quelconque où $AB=a$, $AC=b$ et $BC=c$. L’unité de longueur est le centimètre.

1. Les nombres entiers naturels $a$, $b$ et $c$ vérifient le système $\left\{\begin{aligned} a+b+c&=10\\ a^2+b^2&=4c\\ a^2+b^2+c^2&=34 \end{aligned}\right.$.
   1. Déterminer les entiers naturels $a$, $b$ et $c$. 0,25 pt
   2. En déduire la nature exacte du triangle $ABC$. 0,25 pt
2. Déterminer et construire l’ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que $MA^2-MB^2=0$. 0,75 pt
3. Soient $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les mesures des angles de ce triangle. Démontrer que $\cos\alpha+\cos\beta=\sin\gamma$. 0,5 pt

EXERCICE 4 : 3,25 points

Géométrie du plan et transformations

$ABCD$ est un carré direct dont les diagonales se coupent en $I$. On désigne par $J$ le milieu du segment $[BC]$, et la rotation de centre $I$ et d’angle $\frac{\pi}{2}$ transforme $BC$ en $CD$.

1. a) Déterminer la droite $(D)$ telle que $r=S_{(IJ)}\circ S_{(IJ)}$. 0,5 pt
   b) Déterminer la droite $(D')$ telle que $r=S_{(IJ)}\circ S_{(IJ)}$. 0,5 pt
2. En déduire la nature de la transformation du plan $r=r_{(I,\pi)}$. 0,5 pt

Étude analytique d’une droite et d’une transformation

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Soit $(\Delta)$ la droite d’équation $x-2y+1=0$. On note $g$ la rotation de centre $O$ et d’angle $\frac{\pi}{2}$.

1. Déterminer l’expression analytique de $g$. 0,25 pt
2. On désigne par $h$ l’homothétie de centre $(1,2)$ et de rapport $2$. 0,25 pt
3. Déterminer son expression analytique. 0,5 pt
4. Déterminer l’expression analytique de l’application $p=h\circ g$. 0,5 pt
5. Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(\Delta')$, image de $(\Delta)$ par $p$. 0,5 pt

ÉVALUATION DES COMPÉTENCES : 4,5 points

Situation problème : optimisation et géométrie

Résoudre des situations de vie ou intervenir dans des problèmes d’optimisation et de géométrie.

Un festival gastronomique a lieu au Cameroun sur une surface rectangulaire de $28\,800\ \text{m}^2$. Cette surface est délimitée par une clôture à base de troncs sur les côtés non adjacents à la route, et par d’autres segments. La route d’accès au festival est prise en charge par la collectivité locale.

Pour les besoins d’hygiène, on construit un canal d’évacuation de déchets en béton. Une cuve trapézoïdale doit y être placée, constituant le fond du canal, avec une hauteur de $4\,\text{m}$ et des côtés isocèles de $2\,\text{m}$.

1. Tâche 1 : Déterminer les dimensions $x$ et $y$ de la surface occupée par le festival pour que la longueur de la clôture soit maximale. 1,5 pt
2. Tâche 2 : Déterminer la recette maximale et la recette minimale du spectacle en indiquant le prix d’un billet. 1,5 pt
3. Tâche 3 : Déterminer l’angle $\theta$ tel que la capacité du canal soit maximale. 1,5 pt

EXERCICE I : 05,5 points

Suites numériques et trigonométrie

Soit la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $\left\{\begin{aligned} U_0&=0\\ U_{n+1}&=\dfrac{3}{5}U_n+1 \end{aligned}\right.$.

1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$, représenter sur l’axe des abscisses les termes $U_0$, $U_1$, $U_2$ et $U_3$ de $(U_n)$. (unité graphique : $2\ \text{cm}$) 1 pt
2. Soit la suite $(V_n)$ définie par $V_n=U_n-\dfrac{5}{2}$.
   1. Démontrer que $(V_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique, puis préciser le premier terme et la raison. 0,5 pt
   2. Exprimer ensuite $V_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
   3. Calculer la somme $S_n=V_0+V_1+\cdots+V_{n-1}$. 0,75 pt
   4. Montrer que $\dfrac{1}{1+\tan^2 x}=\cos^2 x$. 0,75 pt
3. Calculer $(1+\sqrt{2})^2$. 0,25 pt
4. Soit l’équation $(E')$ : $\dfrac{2}{1+\tan^2 x}+(1-\sqrt{2})\cos x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0$.
   Résoudre $(E')$ dans $[0;2\pi[$ et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. (unité : $2\ \text{cm}$) 2 pts

EXERCICE II : 03,5 points

Cercle, tangente et symétrie

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. On considère l’ensemble $(C)$ d’équation : $x^2+y^2-2x+2y-23=0$ et la droite $(D)$ : $x+y-1=0$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(C)$. 0,5 pt
2. Donner une représentation paramétrique de $(C)$. 0,5 pt
3. Vérifier que $K(3,2)\in (C)$, puis donner une équation de la tangente à $(C)$ au point $K$. 0,75 pt
4. Montrer que $(D)$ et $(C)$ sont sécants en deux points $L$ et $L'$, puis préciser leurs coordonnées. 0,75 pt
5. Soit $(\Delta)$ la droite passant par $A(2,-1)$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}(4,7)$. Donner l’expression analytique de la symétrie orthogonale d’axe $(D)$. 1 pt

EXERCICE III : 06,5 points

Étude de fonction et courbes

On considère la fonction $f(x)=\dfrac{2x^2-7x+8}{-x+2}$ et on note $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ d’unité graphique $1\ \text{cm}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer les limites de $f$ aux bornes de ce domaine. 1,25 pt
2. En déduire l’existence d’éventuelles asymptotes que l’on précisera. 0,5 pt
3. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 1,25 pt
4. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{-x+2}$. 0,75 pt
5. Montrer que la droite d’équation $(D)$ : $y=ax+b$ est asymptote oblique à la courbe $(C_f)$. 0,5 pt
6. Étudier la position relative de $(C_f)$ par rapport à $(D)$, puis déterminer le point de rencontre de $(D)$ et $(C_f)$. 0,75 pt
7. Construire dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ $(C_f)$ et $(D)$. 1 pt
8. Construire (en pointillés) dans le même repère la courbe de la fonction définie par $g(x)=f(|x|)$. 0,5 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES — 04,5 points

Situation problème : Gestion, équilibre et calculs

M. Nana possède une boucherie dans laquelle il a recruté des employés. Dans cette boucherie, il vend la viande de mouton et la viande de porc dont le prix du kilogramme (kg) est respectivement $2700$ F et $2000$ F.

Pour le bon fonctionnement de sa boucherie, il doit partager chaque fin de mois la somme de $300\,000$ F à ses employés, de façon que s’il y a quatre employés de plus, la part de chacun serait diminuée de $12\,500$ F.

Mme Anne, cliente dans cette boucherie, achète un gigot de viande de mouton de masse $m$. L’employé, pour la pesée, utilise une masse $M=3$ kg et un plateau fixé aux extrémités d’une tige $[AB]$ sur lequel il pose le gigot de viande. Il place $M$ en position précise à un crochet $G$ sur la tige $[AB]$ pour maintenir la balance en équilibre et constate à l’équilibre : $AG=\dfrac{2}{3}BA$ (voir la figure ci-dessous).

M. Armand, qui braise de la viande de mouton et de porc, demande une combinaison de sorte que la masse (en kg) de porc diminuée de $2$ soit le triple de celle du mouton et débourse une somme de $43\,150$ F.

1. Déterminer le montant perçu par chaque employé à la fin d’un mois. 1,5 pt
2. Déterminer la somme que doit débourser Mme Anne pour son gigot de viande. 1,5 pt
3. Déterminer le nombre de kg de viande de chaque type que l’employé doit servir à M. Armand. 1,5 pt

Présentation : 0,5 pt

EXERCICE 1 : 4 points

Géométrie vectorielle et analytique

1. $ABC$ est un triangle tel que $AB=5\text{ cm}$, $AC=7\text{ cm}$ et $BC=11\text{ cm}$. Soit $I$ le milieu de $[BC]$.
   1. Démontrer que $AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}$. 0,5 pt
   2. Calculer la longueur exacte de la médiane $AI$. 0,5 pt
2. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Soient les points $A(1,-1)$ et $B(3,-2)$.
   1. Déterminer une équation cartésienne du cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre $[AB]$. 0,75 pt
   2. Déterminer une équation cartésienne de la tangente $(T)$ au point $A$ de $(\mathcal{C})$. 0,5 pt
3. $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$. $I$ désigne le milieu de $[BC]$ et $AB=4\text{ cm}$.
   1. Déterminer et construire le barycentre $D$ du système de points pondérés $(A,-1)$, $(B,1)$, $(C,1)$. 0,5 pt
   2. Démontrer que le quadrilatère $ABDC$ est un carré. 0,25 pt
   3. Déterminer et tracer l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que $MB^2+MC^2=25$. 1 pt

EXERCICE 2 : 2,5 points

Fonction et trajectoire

Un joueur de rugby est amené à transformer un essai, c’est-à-dire envoyer le ballon au-dessus de la barre située entre les deux poteaux de buts. Cette barre est située à $3\text{ m}$ du sol et le joueur se trouve au milieu du terrain, à $5\text{ m}$ de la ligne de but. La trajectoire du ballon est modélisée par la courbe représentative d’une fonction $f$, définie par $f(x)=x-\dfrac{x^2}{10}$, dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. À quelle distance du joueur le ballon retombera-t-il ? 0,75 pt
2. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ? 1 pt
3. Le joueur réussit-il son essai ? 0,75 pt

EXERCICE 3 : 3 points

Trigonométrie

On considère dans $[0;2\pi]$ les équations :
$(E_1):\ \sin x\cos x+\cos^2 x=\cos 2x$ et $(E_2):\ \sin^2 x+\sin x\cos x=0$.

1. Montrer que les équations $(E_1)$ et $(E_2)$ sont équivalentes dans $[0;2\pi]$. 1 pt
2. Résoudre dans $[0;2\pi]$ l’équation $(E_1)$. 1 pt
3. Placer les points images des solutions de $(E_1)$ sur le cercle trigonométrique. 1 pt

EXERCICE 4 : 5,5 points

Partie A — Fonctions et décomposition

On donne la fonction $h$ définie par $h(x)=\sqrt{1-2x}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_h$ de la fonction. 0,5 pt
2. Décomposer $h$ en deux fonctions de référence $f$ et $g$. On posera $k=g\circ f$. 0,5 pt
3. Soit $x$ et $h$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $r(x)=\sqrt{x^2+1}$ et $h(x)=2x-3$. Déterminer les expressions de $r\circ h(x)$ et $h\circ r(x)$. 1 pt

Partie B — Lecture graphique et équations

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont la représentation graphique $(C_f)$, dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, est donnée ci-contre.

1. Par lecture graphique :
   1. Déterminer $f(1)$, $f(-1)$ et $f(0)$. 0,75 pt
   2. Résoudre l’équation $f(x)=0$, puis $f(x)=4$. 0,5 pt
2. Reproduire la courbe $(C_f)$ et représenter la courbe $(C_g)$ de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(x-2)-1$. 0,75 pt
3. Exprimer $\tan 2x$ en fonction de $\tan x$ pour $x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$. 0,5 pt
4. On donne $\tan x=\sqrt{2}-1$. Calculer $\tan 2x$ et trouver $x$ sachant que $x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$. 1 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES — 4,5 points

Situation : chiffre d’affaires et bénéfice

Dans un petit magasin de fabrication et de vente de jouets en bois, le directeur effectue son bilan mensuel. Pendant le mois d’octobre, son chiffre d’affaires est de $200\,000$ FCFA. Au cours du mois de novembre, le chiffre d’affaires augmente de $x\%$. Pendant le mois de décembre, en raison des fêtes de Noël, il améliore la hausse du mois de novembre de $10$ points de pourcentage d’évolution, ce qui signifie que le chiffre d’affaires de décembre est en hausse de $(x+10)\%$.

Chaque jour, cette entreprise fabrique $x$ jouets avec $x\in[0;60]$. Le coût total de production de ces objets exprimés en FCFA est donné par $C(t)=10t^2-200t+2000$. Chaque objet est vendu au prix unitaire de $500$ FCFA.

1. Montrer que le chiffre d’affaires du mois de décembre est $D(x)=20x^2+4200x+220\,000$. 1,5 pt
2. Calculer le chiffre d’affaires du mois de novembre sachant que le chiffre d’affaires de décembre est de $312\,000$ FCFA. 1,5 pt
3. Déterminer le bénéfice maximal de l’entreprise si elle écoule toute sa production journalière. 1,5 pt

EXERCICE 1 : 6 points

Barycentre et lieux géométriques

1. On considère deux points $A$ et $B$ du plan et $G$ le barycentre des points pondérés $(A,\cos 2\theta)$ et $(B,\sin 2\theta-1)$, avec $\theta\in\left]-\pi;\pi\right]$.
   1. Pour quelles valeurs de $\theta$ $G$ existe-t-il ? 1,5 pt
   2. Pour quelles valeurs de $\theta$ a-t-on $G\in[AB]$ ? 1,5 pt
   3. Dans quels cas $G$ est-il le milieu de $[AB]$ ? 1,5 pt
2. On suppose que $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ et que $AB=10$.
   1. Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $MA^2+MB^2=32$. 0,75 pt
   2. Déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $\dfrac{MA}{MB}=3$. 0,75 pt

EXERCICE 2 : 6 points

Arithmétique, dénombrement et probabilités

1. Résoudre dans $\mathbb{N}$ les équations suivantes :
   1. $4^n=72n$. 1 pt
   2. $2C_n^2+6C_n^3=9n$. 1 pt
2. Au Cameroun, le service d’immatriculation de chaque délégation régionale du ministère des transports attribue à chaque véhicule automobile une matricule composée de l’initiale de la région, d’un nombre numérique comportant trois chiffres ne commençant pas par $0$, et suivi de deux lettres de l’alphabet.
   1. Combien de véhicules peut-on ainsi immatriculer dans une région ? 1 pt
   2. Combien de véhicules peut-on ainsi immatriculer au Cameroun ? 0,5 pt
3. Une urne contient $12$ boules indiscernables au toucher dont $5$ rouges, $4$ jaunes et $3$ vertes. On tire simultanément trois boules. On gagne $200$ F lorsqu’on tire une boule verte, on ne gagne rien lorsqu’on tire une boule jaune et on perd $100$ F lorsqu’on tire une boule rouge.
   1. Quel est l’ensemble des gains possibles ? 1,5 pt
   2. Combien de résultats possibles permettent de gagner $300$ F ? 1 pt

EXERCICE 3 : 3,5 points

Géométrie analytique

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$. Soient $A(1,0)$ et $B(-1,0)$ deux points du plan. On veut déterminer une équation cartésienne de l’ensemble $(E)$ des points $M$ tels que $\widehat{(MB,MA)}=\dfrac{\pi}{6}$.

1. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $(D)$ de $[AB]$. 0,5 pt
2. $P$ est le point de $(D)$ tel que $\widehat{(PA,PB)}=\dfrac{\pi}{3}$.
   1. Montrer que $P\left(0,\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$. 0,75 pt
   2. Déterminer une équation cartésienne du cercle $(\mathcal{C})$ de centre $P$ passant par $A$ et $B$. 1 pt
3. Soit $M(x,y)$ un point du plan. 1 pt

1. Montrer que si $y\le 0$ alors $M\notin(E)$. 0,5 pt
2. En déduire que si $M\in(E)$ alors $x^2+y^2-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}y-1=0$. 0,75 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES — 4,5 points

Situation problème : optimisation et fonctions

Niya est un artisan dans la ville de Foumban qui fabrique des gouttières et des boîtes à bijoux dans son magasin. Pour fabriquer une gouttière, il plie une plaque métallique de longueur $L$ et de largeur $12$ en suivant la longueur (figure 1).

Il découpe des petits carrés de côté $a$ sur une plaque métallique carrée de côté $24$ pour fabriquer une boîte à bijoux(figure 2). Pour effectuer ces réalisations, il dispose d’un camion de transport des matériaux, qui consomme du gasoil en fonction de la relation $C(v)=\dfrac{20}{v}+\dfrac{4}{5}v$, où $v$ représente la vitesse moyenne du camion.

1. Quelle est la valeur de $x$ pour que la gouttière ait un volume maximal ? 1,5 pt
2. Quelle est la valeur de $a$ pour que les boîtes à bijoux aient un volume maximal ? 1,5 pt
3. Quelle doit être la vitesse du camion pour que la consommation en gasoil lors d’une livraison soit minimale ? 1,5 pt

Exercice 1 : 04 points

I) Équation trigonométrique

Soit l’équation $(E)$ : $\sin 3x=\sin 2x$.

1. Résoudre dans $]-\pi;\pi[$ l’équation $(E)$. 0,75 pt
2. 1. Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\sin 3x=\sin x(4\cos^2 x-1)$. 0,5 pt
   2. En déduire que $x$ est solution de $(E)$ équivaut à $x$ solution de l’équation $\sin x(4\cos^2 x-2\cos x-1)=0$. 0,5 pt
3. Parmi les solutions trouvées pour $(E)$, lesquelles sont solutions de : $4\cos^2 x-2\cos x-1=0$ ? 0,5 pt

II) Transformations du plan

Soit $OBC$ un triangle rectangle en $O$ et isocèle de sens direct. On note $H$ le pied de la hauteur du triangle issue de $O$. Soit $S_1$ la symétrie orthogonale d’axe $(OH)$, $S_2$ la symétrie orthogonale d’axe $(OB)$ et $S_3$ la symétrie orthogonale d’axe $(OC)$. On note $r_1$ le quart de tour direct de centre $O$, $S_H$ la symétrie centrale de centre $H$ et $r_3$ la rotation de centre $C$ et d’angle $\frac{\pi}{2}$. $(\Gamma)$ est le cercle circonscrit au triangle $OBC$.

1. Donner la nature et les éléments caractéristiques de chacune des transformations planes : $S_1\circ S_2$ ; $r_1\circ S_H\circ r_3$. 0,75 pt
2. Déterminer la droite $(\Delta)$ telle que : $r_3=S_{(\Delta)}\circ S_3$. 0,75 pt
3. Construire $(\Gamma')$ image de $(\Gamma)$ par la rotation $r_3$. 0,5 pt

Exercice 2 : 05,75 points

Géométrie dans l’espace

Soit le cube $ABCDEFGH$ représenté sur la figure ci-contre. $I$ est le centre du carré $BCGF$ et $J$ le milieu du segment $[GH]$. On se propose de déterminer la nature du triangle $AIJ$.

1. 1. Démontrer que $(AB)\perp(BCF)$ puis déduire que $(AB)\perp(FC)$. 0,5 pt
   2. Établir que $(FC)\perp(BG)$, puis conclure que $(FC)\perp(ABC)$. 0,5 pt
   3. En déduire que $(FC)\perp(BH)$. 0,25 pt
2. 1. Sachant que $(BH)\perp(AC)$, montrer que $(BH)\perp(ACF)$. 0,25 pt
   2. En déduire que $(AI)\perp(BH)$. 0,25 pt
3. Démontrer que le triangle $AIJ$ est rectangle en $I$. 0,5 pt

Exercice 3 : 05,75 points

Géométrie analytique dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère le point $A(1,-3,-1)$, le plan $(P)$ d’équation $3x-2y+z+6=0$ et la sphère $(S)$ : $x^2+y^2+z^2-2x+6y+2z-5=0$.

1. Soit $(D)$ la droite passant par $A$ et orthogonale au plan $(P)$.
   1. Déterminer une représentation paramétrique de $(D)$. 0,5 pt
   2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $H$ de $(D)$ et $(P)$. 0,5 pt
   3. En déduire la distance du point $A$ au plan $(P)$. 0,25 pt
2. Montrer que $(S)$ est une sphère dont on précisera les coordonnées du centre et le rayon. 0,75 pt
3. Donner la nature et les éléments caractéristiques de $(S)\cap(P)$. 0,75 pt
4. On considère le plan $(P_k)$ : $2x-2y+z+k=0$, où $k$ est un nombre réel.
   1. Exprimer en fonction de $k$ la distance du point $A$ au plan $(P_k)$. 0,5 pt
   2. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles le plan $(P_k)$ est tangent à la sphère $(S)$. 0,5 pt

Problème : 05,75 points

Barycentre et lieux géométriques

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ de hauteur $[AH]$ tel que $AH=BC=4\ \text{cm}$. On note $G$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$, $(B,1)$ et $(C,1)$.

1. $M$ est un point quelconque du plan.
   1. Démontrer que le vecteur $\vec{V}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$ est un vecteur de norme $8$. 0,75 pt
   2. Déterminer et construire l’ensemble $(C_1)$ des points $M$ tels que $\left\lVert 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right\rVert=\left\lVert\vec{V}\right\rVert$. 0,75 pt
2. On considère les points pondérés $(A,2)$, $(B,n)$ et $(C,n)$ où $n$ est un entier naturel fixé.
   1. Démontrer que le barycentre $G_n$ de ces points existe. Placer $G_0$ et $G_1$. 0,75 pt
   2. Montrer que $G_n$ appartient au segment $[AH]$. 0,75 pt
   3. Soit $(C_n)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\left\lVert 2\overrightarrow{MA}+n\overrightarrow{MB}+n\overrightarrow{MC}\right\rVert=n\left\lVert\vec{V}\right\rVert$. Montrer que $(C_n)$ est un cercle qui passe par $A$, puis préciser son centre et son rayon. 1 pt
3. En munissant le plan d’un repère orthonormé $(H,\vec{HC},\vec{HA})$, déterminer une équation cartésienne de $(C_3)$ puis en déduire une équation de la tangente $(T)$ à $(C_3)$ au point $E\left(\dfrac{\sqrt{15}}{4},1\right)$. 1 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES — 4,5 points

Situation problème : implantation d’un château d’eau

Dans le plan d’aménagement du canton Molong, il est prévu dans une zone spécifique la construction de trois maisons $A$, $B$ et $C$ non alignées et d’un commissariat. Une première étude a été menée afin d’installer une source souterraine d’eau pour l’approvisionnement principal en un point $M$ tel que $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{ME'}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$.

La source centrale doit être construite avant la construction des bouches d’eau. Les ingénieurs proposent alors trois options.

• Option 1 : la norme de $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ est égale à $6000\ \text{m}$.
• Option 2 : la norme de $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ est égale à la norme de $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$.
• Option 3 : $\dfrac{MA}{MB}=1$ et $\dfrac{MA}{MC}=1$.

1. Tâche 1 : Déterminer une position possible de la première bouche d’eau pour l’option 1. 1,5 pt
2. Tâche 2 : Déterminer une position possible de la deuxième bouche d’eau pour l’option 2. 1,5 pt
3. Tâche 3 : Déterminer une position possible pour la source principale pour l’option 3. 1,5 pt

EXERCICE 1 : 3,5 points

Transformations du plan

$ABCD$ est un carré de centre $O$ tel que $AB=6\ \text{cm}$ et $\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})}=\dfrac{\pi}{2}$.

1. Soit $r$ la rotation qui transforme $D$ en $C$ et $B$ en $A$.
   1. Donner le centre et l’angle de $r$. 0,5 pt
   2. Déterminer, en justifiant, l’image du segment $[AD]$ par $r$. 0,5 pt
2. Soit $h$ l’homothétie de centre $O$ et de rapport $-\dfrac{1}{2}$.
   1. Construire les points $I$ et $J$ tels que $h(C)=I$ et $h(B)=J$. 0,5 pt
   2. Soit $Q$ un point de $[BC]$. Montrer que l’image $Q'$ du point $Q$ par $h$ appartient à $[IJ]$. 0,5 pt
3. On pose $f=h\circ r$.
   1. Déterminer la nature et les éléments géométriques de $f$. 0,5 pt
   2. Construire les points $I$ et $K$, images respectives de $A$ et $B$ par $f$. 0,5 pt
   3. Calculer l’aire du quadrilatère $IJKL$. 0,5 pt

EXERCICE 2 : 3 points

Suites et trigonométrie

Soit $(U_n)$ une suite réelle définie par $\left\{\begin{aligned} U_0&=1\\ U_{n+1}&=\dfrac{2}{3}U_n\cos(2x)+\sin^2 x \end{aligned}\right.$.

1. 1. Montrer que $U_1=\dfrac{3}{2}-2\sin^2 x$. 1 pt
   2. Résoudre dans l’intervalle $[0;2\pi[$ l’équation $(E):\ U_1=1$ et placer les solutions de $(E)$ sur le cercle trigonométrique. 1 pt
2. On suppose dans la suite que $x=\dfrac{\pi}{6}$ et on pose, pour tout entier naturel $n$ : $V_n=\dfrac{3}{2}U_n-\dfrac{3}{2}$, avec $U_0=1$.
   1. Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 0,5 pt
   2. Exprimer $V_n$, puis $U_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
   3. On pose $S_n=U_0+U_1+\cdots+U_{n-1}$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt

EXERCICE 3 : 3,5 points

Géométrie plane

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $BC=2\ \text{cm}$ et $AC=3\ \text{cm}$. Soit $I$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$, $(B,5)$ et $(C,-3)$, et $J$ le point défini par $2\overrightarrow{BJ}=-3\overrightarrow{BC}$.

1. Démontrer que $I$ est le milieu du segment $[AJ]$. 0,5 pt
2. Faire une figure et placer les points $I$ et $J$. 1 pt
3. Déterminer et construire l’ensemble $(\Delta)$ des points $M$ du plan tels que $AM^2+JM^2=35$. 0,75 pt

EXERCICE 4 : 1,75 point

Transformation et dénombrement

Soit $h$ la transformation du plan qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que : $\overrightarrow{MM'}=2\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$.

1. Montrer que le point $I$ est invariant par $h$. 0,25 pt
2. Montrer que $h$ est une homothétie dont on précisera ses éléments géométriques. 0,5 pt

Au Cameroun, le service d’immatriculation de chaque service régional du ministère des transports attribue à chaque véhicule automobile un numéro numérique comportant trois chiffres ne commençant pas par $0$, suivi de deux lettres distinctes de l’alphabet français.

Combien de véhicules peut-on immatriculer dans une région du Cameroun ? 1 pt

EXERCICE 5 : 5,5 points

Étude de fonction et transformations

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-3x}{x+1}$. On désigne par $(C)$ la courbe de $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 1,5 pt
2. Déterminer et justifier toutes les asymptotes à la courbe $(C)$. 0,75 pt
3. Justifier que le point $\Omega(-1,-5)$ est centre de symétrie de $(C)$, puis construire $(C)$. 0,75 pt
4. Soit $m$ un paramètre réel. Discuter, suivant les valeurs de $m$, l’existence, le nombre et le signe des solutions de l’équation : $f(x)=x^2-3+mx-m=0$. 1 pt
5. On pose $g(x)=f(x-1)+2$.
   1. Par quelle transformation simple du plan passe-t-on de $(C)$ à $(C_g)$ ? 0,25 pt
   2. Dresser le tableau de variation de $g$ à partir de celui de $f$. 0,5 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES — 4,5 points

Situation : probabilités et dénombrement

Trois élèves, Jean, Pierre et Paul, sont appelés à effectuer un jeu consistant à tirer $3$ boules dans une urne contenant $5$ boules blanches, $4$ boules bleues et $3$ boules jaunes, toutes indiscernables au toucher.

• Jean effectue un tirage simultané de trois boules. Pour gagner, il doit obtenir au moins une boule jaune.
• Pierre effectue un tirage successif sans remise de trois boules. Pour gagner, il doit obtenir exactement une boule jaune.
• Paul effectue un tirage successif avec remise de trois boules. Pour gagner, il doit obtenir une boule de chaque couleur.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles que peut effectuer Jean pour gagner. 1,5 pt
2. Déterminer le nombre de tirages possibles que peut effectuer Pierre pour gagner. 1,5 pt
3. Déterminer le nombre de tirages possibles que peut effectuer Paul pour gagner. 1,5 pt