PC : 3ème Séquence en maths

Situation : l’armoire de Léa

Léa, une élève de la classe de $1^{re}C$, observe la figure représentant son armoire. Elle souhaite effectuer des constructions et des calculs en vue de proposer des modifications à son menuisier.

$ABCDEFGH$ est un cube d’arête $3\ \mathrm{cm}$. Les points $M$, $N$, $O$ et $P$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[CD]$, $[GH]$ et $[EF]$.

Léa veut construire le projeté orthogonal du centre $Q$ de la face $(EFGH)$ sur la droite $(BG)$.

Tâche

Vous êtes invité(e) à résoudre les problèmes suivants.

Problème 1

Orthogonalité et projections

1. Faire un dessin de l’armoire.
2. Justifier que la droite $(BG)$ est orthogonale au plan $(EFC)$.
3. Représenter sur la figure :
   1. Le plan passant par $Q$ et perpendiculaire à $(BG)$.
   2. Le projeté orthogonal $R$ de $Q$ sur $(BG)$.

Problème 2

Lieu géométrique et points équidistants

On cherche l’ensemble $(\Delta)$ des points $R(x;y;z)$ équidistants de $I$, $J$ et $K$. On considère les vecteurs $\vec{i}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $\vec{k}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AE}$, définissant le repère $\mathcal{R}=(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Les points $I$, $J$ et $K$ vérifient : $5\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IE}=\vec{0}$, $5\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JF}=\vec{0}$, $5\overrightarrow{KC}-2\overrightarrow{KG}=\vec{0}$.

Repère, lieu géométrique et plans

1. Placer les points $I$, $J$ et $K$ sur le cube.
2. Justifier que $\mathcal{R}=(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un repère orthogonal de l’espace.
3. Donner les coordonnées de $I$, $J$ et $K$ dans $\mathcal{R}$.
4. Démontrer que la droite $(PQ)$ est orthogonale au plan $(IJK)$.
5. Soit $M(x;y;z)$ un point de l’espace.
   1. Montrer que $M\in(\Delta)$ équivaut à la résolution d’un système de deux équations linéaires.
   2. En déduire la nature de $(\Delta)$.
   3. Vérifier que $P\in(\Delta)$ et tracer $(\Delta)$.
6. 1. Déterminer une équation cartésienne du plan $(IJK)$.
   2. Justifier que $(\Delta)$ et $(IJK)$ sont sécants.
   3. Déterminer les coordonnées du point $\Omega$.

Problème 3

Réduction, tétraèdre et coordonnées

Après réduction, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ forment un tétraèdre régulier $ABCD$. On travaille dans le repère $(A;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ avec $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{w}$.

Les points sont définis par : $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{3}\vec{u}$, $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\vec{v}$, $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\vec{w}$.

Les points $F$ et $G$ vérifient : $2\overrightarrow{FD}-\overrightarrow{FB}=\vec{0}$, $2\overrightarrow{GI}-\overrightarrow{GJ}=\vec{0}$.

7. Donner deux vecteurs directeurs du plan $(IJK)$.
8. Montrer que $(CD)$ coupe le plan $(IJK)$ en un point $P$ et déterminer $\overrightarrow{AP}$.
9. 1. Vérifier que $P\in(IJK)$.
   2. Donner les coordonnées de $G$ dans le repère $(A;\vec{u},\vec{v},\vec{w})$.

Sous-titre : Suites numériques et transformations

Soit $(U_n)$ la suite définie par :

Pour tout entier naturel $n$, on pose : $V_n=4U_n-6n+15$.

1. Calculer $V_1$, $V_2$ et $V_3$. 1,5pt
2. 1. Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que le terme $V_0$. 0,75pt
   2. Exprimer $V_n$, puis $U_n$ en fonction de $n$. 1pt
3. Montrer que $U_n$ peut s’écrire sous la forme $U_n=t_n+w_n$ où $(t_n)$ est une suite géométrique et $(w_n)$ une suite arithmétique. 0,5pt
4. Donner les caractéristiques des suites $(t_n)$ et $(w_n)$. 1pt
5. Calculer en fonction de $n$ les sommes $T_n$ et $S_n$ définies par : $T_n=t_1+t_2+\cdots+t_{2n}$ et $S_n=w_1+w_2+\cdots+w_{2n}$. 1,5pt
6. Calculer en fonction de $n$ la somme $Q_n=U_1+U_2+\cdots+U_{2n}$. 0,75pt

Sous-titre : Géométrie plane et rotations

Le plan est orienté et l’unité de longueur est le cm. On considère le rectangle $ABCD$ tel que $AB=10$ ; $BC=4$. Soit $\vec{i}=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$, et $E$ est un point du segment $[DC]$ tel que $DE=2$.

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EB}$. 0,25pt
2. On note $(\sigma)$ l’ensemble des points $M$ du plan tel que $MA^2+MB^2=100$.
   1. Démontrer que $(\sigma)$ est un cercle dont on précisera le centre $I$ et le rayon $R$. 0,75pt
   2. Tracer le cercle $(\sigma)$. 0,5pt
3. On considère la rotation $r$ de centre $E$ et d’angle $(\overrightarrow{EA};\overrightarrow{EB})$.
   1. Construire le point $I’$ image de $I$ par $r$. 0,5pt
   2. Préciser la nature de $(\sigma’)$ image de $(\sigma)$ par $r$. 0,5pt
   3. Montrer que $(\sigma’)$ et $(\sigma)$ sont sécants. 0,5pt
   4. Tracer sur la même figure $(\sigma’)$. 0,5pt

Sous-titre : Polynômes et équations trigonométriques

On considère le polynôme $P$ défini par $P(x)=2\sqrt{2}x^3-(6-\sqrt{2})x^2-(3+\sqrt{2})x+3$.

1. Vérifier que $P(x)=(x+1)\bigl(2\sqrt{2}x^2-(6+\sqrt{2})x+3\bigr)$. 0,5pt
2. 1. Calculer $(6+\sqrt{2})^2$. 0,25pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. 0,75pt
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\le 0$. 0,75pt
3. 1. En déduire dans $\mathbb{R}$ les solutions de l’équation $(E):\ 2\sqrt{2}\sin^3x-(6-\sqrt{2})\sin^2x-(3+\sqrt{2})\sin x+3=0$. 0,75pt
   2. En déduire dans $]-\pi;\pi]$ les solutions de l’équation $(E)$. 0,5pt
   3. Placer les images des solutions sur le cercle trigonométrique. 0,5pt
   4. En déduire dans $]-\pi;\pi]$ les solutions de l’inéquation $(E)$. 0,75pt

Sous-titre : Lecture graphique, variations et tangentes

La courbe ci-contre est celle de la dérivée $f’$ d’une fonction $f$ continue et dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

1. 1. À partir de ce graphique, donner le signe de $f’$. 0,5pt
   2. En déduire les solutions des inéquations $f'(x)<0$ et $f'(x)>0$. 0,5pt
   3. Déterminer les extrema de $f$. 0,5pt
   4. Déduire le sens de variation de $f$. 0,5pt
   5. Dresser le tableau de variation de $f$. 0,75pt
2. 1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x+1}$ et que $(C_f)$ passe par $A(1;0)$. 1pt
   2. Indiquer que $(\Delta):y=x-3$ est une asymptote à $(C_f)$. 0,5pt
   3. Étudier la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta)$. 0,5pt
3. Montrer que le point $C(-1;-4)$ est centre de symétrie pour la courbe $(C_f)$. 0,5pt
4. Tracer la courbe $(C_f)$. 0,75pt
5. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{(x-1)^2}{|x|+1}$.
   1. Étudier la parité de $g$. 0,5pt
   2. Comparer $g(x)$ et $f(x)$ pour $x$ positif. 0,5pt
   3. Déduire le tableau de variation de $g$. 0,75pt
   4. Tracer $(C_g)$ dans le même graphique que $(C_f)$. 0,75pt
6. 1. Déterminer l’équation réduite de la tangente à $(C_f)$ parallèle à la droite $(D):y=-3x+1$. 0,75pt
   2. Déterminer le point de $(C_f)$ où la tangente est perpendiculaire à $(D):y=-3x+2$. 0,75pt
7. Résoudre graphiquement l’équation $x^3+(2+m)x^2+1-m=0$. 0,75pt

Sous-titre : Domaine, symétries et variations

Soit $h$ la fonction définie par : $h(x)=\dfrac{\sin x}{\sin x+1}$. On note $(C_h)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_h$ de $h$. 0,5pt
2. Démontrer que les droites d’équations $x=\dfrac{\pi}{2}$ et $x=\dfrac{3\pi}{2}$ sont des axes de symétrie de $(C_h)$. 0,5pt
3. Indiquer dans quel ensemble on peut réduire l’étude de $h$. 0,5pt
4. Démontrer que : $\forall x\in D_h,\; h'(x)=\dfrac{\cos x}{(\sin x+1)^2}$. 0,75pt
5. Étudier les variations de $h$ sur l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$. 1pt
6. Démontrer que sur cet intervalle, $(C_h)$ présente une seule branche infinie, puis préciser sa nature. 1pt
7. Tracer $(C_h)$ sur l’intervalle $]-3\pi;\;3\pi]$. 1pt

Sous-titre : Identités trigonométriques et équations

1. Démontrer que $\sin 5x=16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x$. 1pt
2. Vérifier que $\dfrac{\pi}{5}$ et $\dfrac{2\pi}{5}$ sont des racines de $\sin 5x$. 0,5pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $16x^5-20x^3+5x=0$. 1pt
4. Déduire les valeurs exactes de $\sin\dfrac{\pi}{5}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{5}$. 1pt

Sous-titre : Cercle et droites du plan

Soit $(C)$ le cercle d’équation $x^2+y^2-10x+15=0$ et $P(0;5)$ un point du plan.

1. Écrire une équation cartésienne de la droite $(\Delta_m)$ passant par $P$ et de coefficient directeur $m$. 0,5pt
2. Montrer que les abscisses des points communs à $(C)$ et $(\Delta_m)$ vérifient l’équation $(m^2+1)x^2+10(m-1)x+40=0$. 0,75pt
3. Discuter, suivant le paramètre réel $m$, le nombre de points de contact entre le cercle $(C)$ et la droite $(\Delta_m)$. 1,25pt
4. En déduire une équation des tangentes à $(C)$ passant par $P$. 1pt

Sous-titre : Géométrie dans l’espace

$ABCDEFGH$ est un cube. On désigne par $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[BF]$, $[FG]$ et $[AE]$.

Montrer que :

1. La droite $(IK)$ est orthogonale au plan $(ADE)$. 0,5pt
2. La droite $(BE)$ est orthogonale au plan $(ADG)$. 0,5pt
3. La droite $(DE)$ est orthogonale au plan $(IJK)$. 0,5pt
4. Les droites $(IK)$ et $(CF)$ sont orthogonales. 0,5pt
5. Les droites $(IU)$ et $(ED)$ sont orthogonales. 0,5pt

Les parties A, B et C sont toutes indépendantes

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}$. On désigne par $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ puis justifier que l’ensemble d’étude de $f$ peut être réduit à l’intervalle $[-\pi;\pi]$. 1pt
2. Montrer que $\forall x\in D_f,\; f'(x)=\dfrac{\sqrt{2}\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}{(1+\cos x)^2}$. 1pt
3. Dresser le tableau de variation de $f$ sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$. 1pt
4. Préciser les coordonnées des points de $(C_f)$ où la tangente est parallèle à l’axe $(OI)$. 0,5pt
5. Déterminer les équations des tangentes à $(C_f)$ aux points d’abscisses $-\pi$ et $\pi$. 1pt
6. Construire $(C_f)$. 1pt

Partie B / (05 points)

Sous-titre : Étude d’une fonction racine

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\sqrt{x^2+3x+2}$. On désigne par $(C_g)$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni du repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_g$ de $g$. 0,5pt
2. Montrer que la droite d’équation $x=-\dfrac{3}{2}$ est un axe de symétrie de $(C_g)$. 0,5pt
3. Étudier la dérivabilité de $g$ en $x=-1$ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu. 1pt
4. Montrer que les droites $(D_1):y=x+\dfrac{3}{2}$ et $(D_2):y=-x-\dfrac{3}{2}$ sont des asymptotes à $(C_g)$ puis préciser les positions de $(C_g)$ par rapport à $(D_1)$ et $(D_2)$. 1pt
5. Étudier les variations de $g$ sur $D_g$. 1pt
6. Tracer $(D_1)$, $(D_2)$ et $(C_g)$ dans le même repère. 1pt