D’abord, le PROBATOIRE C 2012 se prépare mieux avec Ndolomath et un sujet clair. Ensuite, il se comprend en relisant la définition de l’examen et ses exigences. Puis, le PROBATOIRE C 2012 te guide avec des questions progressives, du calcul au raisonnement. Enfin, il devient plus simple si tu gères ton temps et rédiges proprement.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2012
Exercice 14 points
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $|4x+2|>|3-x|$ 1 pt
2. On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $(x-1)(x^2-3)=39$
a. Ecrire $39$ sous la forme d’un produit de facteurs premiers. 0,5 pt
b. Trouver alors une solution de l’équation $(E)$ dans l’ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels. 1 pt
c. Montrer que cette solution entière est l’unique qu’admet l’équation $(E)$ dans $\mathbb{R}$. 0,5 pt
3. Calculer le réel $A$ défini par $A=\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\ldots\times\left(1+\frac{1}{999}\right)$ 1 pt
Exercice 25 points
1. Soit $\theta$ un nombre réel.
a. Développer $(\cos^2\theta-\sin^2\theta)^2$ 1 pt
b. En déduire que $\cos^4\theta+\sin^4\theta=\frac{1}{2}(1+\cos^22\theta)$ 0,5 pt
c. Résoudre dans $]-\pi,\pi[$ l’équation $\cos^4\theta+\sin^4\theta=\frac{5}{8}$ 1,5 pt
2. Soit $(U_n)$ une suite géométrique de raison $q$ telle que : $U_0\in\mathbb{R}^*$ ; $q>0$ et
$U_0\times U_1\times U_2=27$
$U_1\times U_2\times U_4=216$
a. Déterminer la raison et le terme initial $U_0$ 1 pt
b. En déduire $U_n$ en fonction de $n$. 1 pt
Problème
Le problème comporte trois parties indépendantes A, B et C
Partie A7 points
1. On considère les fonctions numériques suivantes :
$\left\{\begin{array}{l} f:[-2,2]\to\mathbb{R}\\ x\mapsto x^2 \end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{l} g:[0,4]\to\mathbb{R}\\ x\mapsto x^2-4x+5 \end{array}\right.$
$(C)$ et $(C’)$ sont les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan $P$
a. Construire la courbe $(C)$ 0,5 pt
b. Vérifier que pour tout $x$ de $[0,4]$, $g(x)=f(x-2)+1$ 1 pt
c. Comment peut-on déduire la courbe $(C’)$ à partir de la courbe $(C)$ 1 pt
d. Construire la courbe $(C’)$ 1 pt
2. On désigne par $r$ la rotation de centre $O$ et d’angle $\frac{\pi}{6}$ et par $h$ l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$. Soient $I$ et $J$ les points du plan de coordonnées respectives $(1,0)$ et $(0,1)$
a. Construire les images $I’$ et $J’$ des points $I$ et $J$ par la transformation $s=roh$ 1 pt
b. Donner la nature du triangle $OI’J’$ 1 pt
c. Démontrer que les droites $(II’)$ et $(JJ’)$ sont perpendiculaires. 1 pt
d. Montrer que $II’=JJ’$ 0,5 pt
Partie B2 points
$E$ est le plan vectoriel de base $(\vec{i},\vec{j})$ et $f$ est l’application linéaire de $E$ dans $E$ définie par $f(\vec{i})=3\vec{i}-2\vec{j}$ et $f(\vec{j})=\vec{i}+4\vec{j}$
1. Ecrire la matrice $M$ de $f$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ 0,5 pt
2. Déterminer le noyau de $f$. 0,5 pt
3. $f$ est-elle bijective ? Justifier votre réponse. 0,25 pt
4. Donner une base de l’image de $f$. 0,25 pt
5. Donner l’expression analytique de $f\circ f$ 0,5 pt
Partie C2 points
L’Espace $E$ est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Soient $(P)$ et $(P’)$ les plans d’équations cartésiennes respectives $2x+3y+6z=0$ et $3x-6y+2z+1=0$
1. Démontrer que $(P)$ et $(P’)$ sont perpendiculaires 0,5 pt
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ d’intersection des deux plans $(P)$ et $(P’)$ 0,5 pt
3. Soit $A$ le point de coordonnées $(-4,1,-2)$
a. Calculer la distance du point $A$ à $(P)$ et à $(P’)$ 0,5 pt
b. En déduire la distance de $A$ à $(D)$ 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2012
Conclusion du PROBATOIRE C 2012
D’abord, le PROBATOIRE C 2012 se réussit en posant vos étapes et en soignant vos justifications. Ensuite, relisez vos résultats et vérifiez les signes, les intervalles et les unités. Puis, entraînez-vous régulièrement avec Ndolomath pour gagner en vitesse et en confiance. Enfin, gardez votre calme, gérez le temps, et attaquez chaque question avec méthode.
