Exercice 1 : 09pts

PARTIE A : 05.25pts

On considère le polynôme $T$ tel que : $T(x)=-2x^3-x^2+5x+2$.

  1. Calculer $T(-2)$ et conclure 0.75pt
  2. Déterminer un polynôme de second degré tel que $T(x)=(x+2)R(x)$ 1pt
  3. Dans la suite on suppose que $R(x)=-2x^2+3x-1$
    1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $-2x^2+3x-1=0$ 0.75pt
    2. En déduire la forme factorisée de $T(x)$ 0.75pt
    3. Dresser le tableau de signe de $T(x)$ 1pt
    4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $T(x)\ge 0$ 1pt

PARTIE B : 03.75pts

  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $(x+5)^2=4$ 0.75pt
  2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes suivants : 3pts
    $S_1$ :
    $$ \begin{cases} 7x-2y=32\\ 4x+3y=10 \end{cases} $$
    $S_2$ :
    $$ \begin{cases} 7(x+5)^2-\dfrac{2}{y+3}=32\\ 4(x+5)^2+\dfrac{3}{y+3}=10 \end{cases} $$

Exercice 2 : 03.5pts

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par : $f(x)=-x^2+4x-2$ et $g(x)=-x^2$.

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$ 0.5pt
  2. Mettre $f(x)$ sous forme canonique 1pt
  3. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ ; $f(x)=g(x-2)+2$ 0.5pt
  4. Indiquer la transformation du plan permettant d’obtenir la courbe de $f$ à partir de celle de $g$ 0.5pt
  5. Montrer que la droite $(D)$ : $x=2$ est un axe de symétrie pour la courbe de $f$ 1pt

Exercice 3 : 07.5pts

PARTIE A

  1. Soit $h$ une fonction impaire définie sur $[-2;2]$ . son tableau de variation est le suivant tableau de variations :
Tableau de variations de la fonction h(x)
  1. Déterminer $h(-1)$ et $h(-2)$ sachant que $h(1)=-1$ et $h(2)=4$ 1pt
  2. Donner le tableau de variation de $h$ sur $[-2;2]$ 1pt
  1. Calculer les limites suivantes : 1.5pt

    $\displaystyle \lim_{x\to -\frac12}\frac{-2x+5}{4x+2}\ ;\quad \lim_{x\to \sqrt2}\left(\frac12 x^4+x\sqrt2-\frac13\right)$

PARTIE B

On considère la fonction $g$ dont la représentation graphique est :

Représentation graphique d'une fonction sur un repère orthonormé
  1. Déterminer graphiquement l’ensemble de définition de $f$ 0.25pt
  2. Trouver graphiquement les images par $f$ des nombres : $0$; et $-4$. 0.5pt
  3. Déterminer graphiquement les antécédents par $f$ des nombres : $0$; et $1$ . 0.5pt
  4. Dresser le tableau de variation de $f$ . 1pt
  5. Déterminer graphiquement l’image directe par $f$ des intervalles : $[-4;-2]$ . 0.5pt
  6. Détermine graphiquement l’image réciproque par $f$ des intervalles : $[0;1[$ . 0.5pt
  7. Résoudre graphiquement : $f(x)\ge 0$; $f(x)>3$ et $f(x)<1$ . 0.75pt