Sujet d’évaluation de maths 5e séquence Troisième

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

A1) ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : (5 points)

EXERCICE 1 : (1,5 points)

On considère l’expression $E=(9x+2)^2-(2018-7x)^2$.

1. Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$. 0,75pt
2. Factoriser $E$. 0,75pt

EXERCICE 2 : (2 points)

Moussa part de son garage situé dans les environs de Bafia. Ensuite, il va acheter une pièce d’un véhicule dans un magasin à Yaoundé. Au total, il a mis un temps de $3h\ 12min$ pour le voyage aller et retour.

À l’aller, sa vitesse moyenne était de $90km/h$ et, au retour, elle est de $70km/h$. On rappelle que le temps total mis en heures pour parcourir la distance aller-retour est de $3+\dfrac{12}{60}$.

1. Écrire le nombre $A=3+\dfrac{12}{60}$ sous la forme d’une fraction irréductible. 0,5pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\dfrac{x}{90}+\dfrac{x}{70}=\dfrac{16}{5}$. 0,75pt
3. En déduire en kilomètres, la distance $d$ du garage de Moussa au magasin de Yaoundé. 0,75pt

EXERCICE 3 : (1,5 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système : 0,75pt
   $\begin{cases}x+y=45\\x+2y=70\end{cases}$
2. Dans le parking d’un Lycée, il y a des motos et des voitures. On compte au total $45$ engins et $140$ roues. Déterminer le nombre de motos et de voitures dans ce parking. 0,75pt

A2) ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : (5 points)

EXERCICE 1 : (3 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. On donne les points $A(-2;1)$, $B(1;-1)$, la droite $(D)$ d’équation cartésienne $-2x+y+3=0$ et le vecteur $\vec{u}(-2;-3)$.

1. Construire la droite $(D)$ et placer les points $A$ et $B$ dans le repère. 1pt
2. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux. 0,5pt
3. Écrire l’équation cartésienne de $(D)$ sous la forme $y=ax+b$ et en déduire son coefficient directeur. 0,5pt
4. Soit $(L)$ la droite d’équation cartésienne $y=mx+p$ où $m$ et $p$ sont des nombres réels. Déterminer les réels $m$ et $p$ pour que $A\in(L)$ et que $(D)$ et $(L)$ soient parallèles. 1pt

EXERCICE 2 : (2 points)

Des élèves participent à une course à pied. Avant l’épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-contre.

Les droites $(AE)$ et $(BD)$ sont sécantes en $C$ ; les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles ; $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Calculer la longueur réelle du parcours $ABCDE$. 2pts

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

Situation :

Repérage de la ville et position de la station-service

M. Tsafack habite une grande ville repérée par deux axes perpendiculaires $(D_1)$ et $(D_2)$ en $O$. Il souhaite aménager sa station-service située au point $M$ à $1km$ de $(D_1)$ et à $5km$ de $(D_2)$ (figure 4, segments en gras).

Nature des camions et des chargements

Pour la réalisation du projet, il commande du béton, du gasoil et de la pouzzolane. La livraison est assurée par trois camions pleins : le premier possède une bétonnière de forme sphérique (Figure 1), le deuxième est équipé d’une citerne de forme cylindrique droit (Figure 2) et le troisième transporte une benne ayant la forme d’un pavé droit (Figure 3).

Lieux de chargement et déplacements

Le premier camion est chargé à l’usine « Béton ZL » au point $E$ situé à $1km$ de $(D_1)$ et à $2km$ de $(D_2)$. Le $2^{ème}$ camion se ravitaille à l’entreprise « Xing-oil » au point $F$ situé à $5km$ de $(D_1)$ et à $2km$ de $(D_2)$. Enfin, le $3^{ème}$ camion est chargé à la carrière « Zoula » au point $G$ situé à $5km$ de $(D_1)$ et à $5km$ de $(D_2)$.

Les déplacements des camions, depuis les lieux de chargement jusqu’au lieu de livraison, sont supposés rectilignes (figure 4). Chaque camion effectue un seul trajet.

Coûts d’achat et de transport

M. Tsafack achète le béton à $30.000\ F$ le $m^3$, le gasoil à $400.000\ F$ le $m^3$ et la pouzzolane à $40.000\ F$ le $m^3$. Le déplacement de chaque camion, chauffeur compris, est évalué à $3.500\ F$.

Tâches :

1. Combien dépense M. Tsafack pour l’achat et le transport du béton ? 3pts
2. Combien dépense M. Tsafack pour l’achat et le transport du gasoil ? 3pts
3. Combien dépense M. Tsafack pour l’achat et le transport de la pouzzolane ? 3pts