Évaluation de mathématiques 5e séquence Troisième

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (12,5 points)

I- TRAVAUX NUMÉRIQUES (6,25 pts)

EXERCICE 1 (3 points)

I-) On donne les expressions suivantes : $A = 7\sqrt{27} - 2\sqrt{75} + 3\sqrt{81}$ et $B = \dfrac{2\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} - 2}$.

1. Écrire $A$ sous la forme $a + b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers naturels que l’on déterminera. (1 pt)
2. Rendre rationnel le dénominateur de $B$. (0,5 pt)

II-) On donne la fraction rationnelle $C = \dfrac{4x^2 - 20x + 25}{2x - 5}$ où $x$ est un nombre réel.

1. Factoriser l’expression $4x^2 - 20x + 25$. (0,5 pt)
2. Donner la condition d’existence d’une valeur numérique de $C$. (0,5 pt)
3. Simplifier alors $C$. (0,5 pt)

EXERCICE 2 (3,5 points)

1. Résoudre dans $IR^2$ le système d’équations : $\begin{cases} 4x + 5y = 14 \\ x - 5y = -9 \end{cases}$ (1 pt)

On donne le tableau statistique ci-contre qui représente les notes sur 20 obtenues en Mathématiques par 60 élèves de la classe de 3ème d’un établissement scolaire à l’issue d’une évaluation.

1. Recopier et compléter le tableau ci-contre. (1 pt)
2. Calculer la moyenne $m$ des notes des élèves en Mathématiques à l’issue de l’évaluation dans cette classe de 3ème. (0,75 pt)
3. Déterminer le pourcentage des élèves de cette classe qui ont eu au plus $12$ sur $20$ en Mathématiques à cette évaluation. (0,5 pt)

II- TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES (6,25 pts)

EXERCICE 1 (3,5 points)

La figure ci-contre est formée d’un triangle $EDC$ rectangle en $D$ tel que $DC = 5\text{ cm}$ et du triangle $DAC$ où $[DB]$ est la hauteur issue de $D$. On donne $AB = 3\text{ cm}$, $BC = 4\text{ cm}$ et $\text{mes}\widehat{DCE} = 60^\circ$.

1. a) Calculer $\cos \widehat{DCB}$. (0,5 pt)
   b) En déduire une mesure de l’angle $\widehat{DCB}$. (0,5 pt)
2. Calculer $BD$. (0,75 pt)
3. a) Montrer que $EC = 10\text{ cm}$ et $ED = 5\sqrt{3}\text{ cm}$. (1 pt)
   b) En déduire que l’aire du triangle $EDC$ est égale à $12,5\sqrt{3}\text{ cm}^2$. (0,75 pt)

EXERCICE 2 (2,75 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O ; I ; J)$. On donne les points $A(1 ; -2)$, $B(2 ; 1)$ et $C(3 ; 2)$ ; puis la droite $(D)$ d’équation $2x - y - 4 = 0$.

1. Justifier que $A \in (D)$, $B \notin (D)$ et $C \in (D)$. (0,75 pt)
2. a) Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère orthonormé $(O ; I ; J)$. (0,75 pt)
   b) Tracer la droite $(D)$ dans le repère orthonormé $(O ; I ; J)$. (0,5 pt)
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D')$ passant par $B$ et perpendiculaire à $(D)$. (0,75 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (7,5 points)

Situation

Pour organiser la fête d’excellence dans un établissement scolaire de la région de l’Adamaoua, un cocktail de remerciement est offert par le chef d’établissement aux lauréats. Il compte réaliser l’apéritif sans alcool dont la recette est la suivante : au fond d’un verre cylindrique (voir figure 3) de hauteur $25\text{ cm}$ et de rayon $4\text{ cm}$, mettre un demi-citron coupé en morceaux, quelques feuilles de menthe, une cuillerée à café de sucre roux et remplir de glace pilée « à ras bord ».

On négligera le volume du sucre et de la menthe ainsi que les espaces vides entre les différents ingrédients qui composent cet apéritif.

Madame Haoua est vendeuse de jus dans cet établissement. Elle veut profiter de cette journée pour réaliser des bénéfices. Pour cela, elle dépense $3000$ frs pour la préparation de $15{,}75$ litres de jus de foléré et $2500$ frs pour $10{,}08$ litres de jus de goyave.

Ces jus sont vendus dans des verres dont les formes sont représentées ci-dessous :

• Les verres de jus de goyave ont la forme d’un tronc de pyramide obtenu par section à mi-hauteur de la pyramide régulière $SABCD$ (voir figure 1) de hauteur $10\text{ cm}$ dont la base $ABCD$ est un carré de côté $6\text{ cm}$.
• Les verres de jus de foléré ont la forme d’un cône de révolution (voir figure 2) de hauteur $5\text{ cm}$ et de rayon $4\text{ cm}$.

Elle vend le jus de foléré à raison de $50$ frs le verre rempli tandis qu’un verre rempli de jus de goyave coûte $100$ frs.

Un citron est assimilable à une sphère de rayon $3\text{ cm}$. On rappelle que le volume $V$ de la sphère de rayon $R$ est donné par $V = \dfrac{4\pi R^3}{3}$. Prendre $\pi = 3{,}15$.

Tâches

1. Calculer le volume de glace pilée à mettre dans l’apéritif une fois le citron placé au fond du verre. (2,25 pts)
2. Calculer le bénéfice réalisé par Madame Haoua après la vente de tout le jus de foléré. (2,25 pts)
3. Calculer le bénéfice réalisé par Madame Haoua après la vente de tout le jus de goyave. (2,25 pts)