Devoir de mathématiques 5e séquence Troisième

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

I – ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (5 points)

Exercice 1 (3 points)

1. On considère l’expression : $F = 5x^2 - 20 - (x - 2)(3x + 1)$.
   1. Montrer que $F = 2x^2 + 5x - 18$. (0,25 pt)
   2. Factoriser $F$. (0,5 pt)
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(9 + 2x)(x - 2) = 0$. (0,5 pt)
   4. Justifier que la valeur numérique de $F$ pour $x = \sqrt{3}$ est $5\sqrt{3} - 12$. (0,25 pt)
2. POTLIMAL dispose d’un terrain de forme rectangulaire qui a pour périmètre $144$ m et dont la longueur dépasse la largeur de $2$ mètres. Déterminer les dimensions de ce terrain. (1,5 pt)

Exercice 2 (2 points)

On considère ci-dessous la série statistique des salaires mensuels (en millier de francs CFA) des employés d’une petite entreprise :

1. Cette entreprise emploie combien de personnes ? (0,25 pt)
2. Calculer le salaire moyen de ces employés. (1 pt)
3. Déterminer la classe modale. (0,25 pt)
4. Déterminer la fréquence des employés gagnant mensuellement au moins $40$ mille francs CFA. (0,5 pt)

II – ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (5 points)

Exercice 1 (3,5 points)

Le plan est rapporté au repère orthonormé d’unité $1$ cm. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés tels que : $AB = 8$, $BC = 6$ et $AC = 10$.

1. Construire le triangle $ABC$. (0,5 pt)
2. Justifier que $ABC$ est rectangle en $B$. (0,5 pt)
3. Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $(d)$ la droite passant par $I$ et parallèle au segment $[BC]$. La droite $(d)$ coupe le segment $[AC]$ en $J$.
   1. Calculer $AJ$. (0,5 pt)
   2. En déduire $IJ$. (0,25 pt)
   3. En déduire que l’aire du triangle $ABC$ est $4$ fois celle du triangle $AIJ$. (0,25 pt)
   4. Calculer la tangente de l’angle $\widehat{BCA}$. (0,25 pt)
   5. En déduire une valeur approchée de $\widehat{BCA}$ en degré. (0,25 pt)
4. Soit $(C)$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
   1. Tracer le cercle $(C)$ et le segment $[BJ]$. (0,5 pt)
   2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous : (0,5 pt)

Exercice 2 (1,5 point)

On considère un cône de révolution de hauteur $4$ m et de rayon de base $1,5$ m.

1. Calculer le volume de ce cône de révolution. (0,5 pt)
2. Calculer la longueur de sa génératrice. (0,5 pt)
3. On fait une section à mi-hauteur de ce cône de révolution parallèlement à sa base. Calculer le volume du tronc de cône obtenu. (0,5 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation

M. YOMKIL ne bénéficiant pas du réseau d’adduction d’eau de la CAMWATER, décide de faire aménager son propre puits. Pour cela, il contacte M. Souley spécialiste dans ce domaine.

M. Souley dit à M. Yomkil que pour disposer de l’eau en toute saison, il faut que son puits ait une profondeur de $18$ m et un diamètre de $102$ cm. En outre, il ajoute qu’il faut des buses de forme cylindrique ayant un diamètre utile de $90$ cm et une hauteur de $50$ cm.

Le vendeur de buses dispose d’une voiture pick-up qui livre à domicile les buses vendues à $12\,000$ FCFA l’une. Les buses achetées par M. Yomkil sont acheminées chez lui en trois tours. Un tour de transport de buses du lieu d’achat au domicile de M. Yomkil cause une dépense de $2\,500$ FCFA. Pour décharger une buse du pick-up, on verse $250$ FCFA au chauffeur.

M. Yomkil a versé la somme de $375\,000$ FCFA au vendeur de buses pour que les buses achetées soient totalement livrées à son domicile. M. Souley a plongé exactement $28$ buses dans le puits. Une buse plongée dans le puits fait débourser $250$ FCFA. Pour finir, M. Souley déclare qu’en moyenne les trois-septièmes des buses se trouvant dans le puits contiendront toujours entièrement de l’eau. Prendre $\pi = 3,14$.

Tâches

1. Déterminer la somme d’argent totale que recevra M. Souley une fois le puits totalement achevé. (3 pts)
2. Déterminer le nombre total de buses livrées au domicile de M. Yomkil. (3 pts)
3. Calculer, en litre, le volume d’eau en moyenne que contiendra ce puits. (3 pts)