Composition de maths 5e séquence 3e

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (5 points)

Exercice 1 (2,5 points)

1. Effectue la chaîne d’opérations suivante et donne le résultat sous la forme d’une fraction irréductible : $\dfrac{3}{15} \div \dfrac{7}{14} + \dfrac{3}{14} - \dfrac{4}{35}$. (0,75 pt)
2. On donne le réel $A = 5 - 3\sqrt{3}$.
   1. Développe et réduis $A^2$ sous la forme $a + b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. (0,5 pt)
   2. Écris $\sqrt{(5 - 3\sqrt{3})^2}$ sous la forme $a + b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. (0,5 pt)
   3. Sachant que $1{,}73 \le \sqrt{3} \le 1{,}74$, donne un encadrement de $A$ par deux nombres décimaux relatifs ayant deux chiffres après la virgule. (0,75 pt)

Exercice 2 (1,5 point)

On considère deux nombres $x$ et $y$ vérifiant le système : $\begin{cases} x^2 - y^2 = 192 \\ x + y = 32 \end{cases}$

1. Factorise $x^2 - y^2$ et en déduire la valeur de $x - y$. (0,75 pt)
2. Justifie que les nombres $x$ et $y$ vérifient le système : $\begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 32 \end{cases}$. (0,25 pt)
3. En déduis les nombres $x$ et $y$. (0,5 pt)

Exercice 3 (1 point)

Pour le premier trimestre de l’année scolaire et en mathématiques, FALI a obtenu :

• Aux devoirs de maison : $15$, $14$ et $16$
• Aux deux premiers devoirs surveillés en classe : $8$ et $7$

Les devoirs de maison sont affectés chacun du coefficient $1$ et les devoirs surveillés en classe du coefficient $3$ chacun.

Quelle note doit obtenir FALI au troisième devoir surveillé de classe, pour avoir $10$ de moyenne en mathématiques au premier trimestre ? (1 pt)

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (5 points)

Exercice 1 (1,5 point)

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que la mesure de l’angle en $B$ soit $60^\circ$.

1. Détermine la mesure de l’angle en $C$. (0,5 pt)
2. $D$ est un point du plan tel que $ABDC$ est un rectangle. Construis le demi-cercle $(C)$ de diamètre $[CD]$ à l’intérieur du rectangle $ABDC$. (0,5 pt)
3. Construis l’image $(C')$ de $(C)$ par la symétrie orthogonale d’axe $(CD)$. (0,5 pt)

Exercice 2 (3,5 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

1. Place dans le plan les points $A(3;2)$, $B(3;4)$, $C(-1;2)$ et $D(-1;4)$. (1,25 pt)
2. Détermine la distance $AD$. (0,5 pt)
3. Montre que les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont orthogonaux. (0,75 pt)
4. Détermine une équation de la droite $(BC)$. (1 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation

Monsieur Ousman possède un terrain qui a la forme d’un triangle $ABC$ rectangle en $A$ comme l’indique la figure ci-contre. Il a un garçon et deux filles. Étant malade, il écrit son testament dans lequel ses filles n’ont pas le droit de vendre une parcelle de terrain. La parcelle $HBG$ revient au garçon, la parcelle $AFC$ à la fille aînée et la parcelle $ADEF$ à la fille cadette.

Dans la zone où se trouve ce terrain, on vend 1 hectare à $50\,000\,000$ FCFA. Le rendement du sol est de $2$ kg de maïs au mètre carré et de $5$ kg de tomates au mètre carré. Un sac de maïs de $50$ kg coûte $8\,000$ FCFA. Un cageot de $25$ kg de tomate coûte $9\,000$ FCFA.

À la mort de Monsieur Ousman, le garçon décide de vendre sa parcelle pour acheter des actions dans un projet d’entreprise ; la fille aînée décide de cultiver du maïs sur sa parcelle, tandis que sa cadette opte pour la culture de tomates sur la sienne.

Tâches

1. Déterminer combien la fille aînée pourra encaisser après une session de culture. (3 pts)
2. Déterminer combien la fille cadette pourra encaisser après une session de culture. (3 pts)
3. Déterminer combien le garçon pourra déposer dans le projet d’entreprise dont il rêve. (3 pts)