3e : sequence 3 en maths

Partie A : Évaluation des ressources (10 points)

I- Activités numériques : 5 points

Exercice 1 : 2,5 points

1. Comparer $2\sqrt{3}$ et $5$ et en déduire le signe de : $2\sqrt{3}-5$. 0,75 pt
2. Développer et réduire $(2\sqrt{3}-5)^2$. 0,5 pt
3. En déduire une écriture simplifiée de : $\sqrt{37-20\sqrt{5}}$. 0,5 pt
4. Donner un encadrement de $5-2\sqrt{3}$ sachant que : $2,236<\sqrt{5}<2,237$. 0,75 pt

Exercice 2 : 2,5 points

Soit l'expression $E(x)=9-4x^2-(2x-3)(-x+4)$.

1. Montrer que $E(x)=-2x^2-11x+21$. 0,5 pt
2. Calculer $E(-2)$ et $E(\sqrt{3})$. 0,5 pt
3. Montrer que une expression factorisée de $E$ est : $E(x)=(2x-3)(-x-7)$. 0,75 pt
4. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles : $E(x)\ne 0$. 0,75 pt

II- Activités géométriques : 5 points

Exercice 1 : 3 points

$[AH]$ est une hauteur du triangle $ABC$.

$BH=2$ ; $AC=4$ et $mes\widehat{B}=40^\circ$.

1. Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de la longueur $AH$. 1 pt
2. Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de la mesure de l'angle $\widehat{C}$. 1 pt
3. Calculer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de la longueur $HC$. 1 pt

Exercice 2 : 2 points

Sur la figure ci-contre : $(MN)$ et $(BC)$ parallèles.

$AB=4$ ; $AC=5$ ; $BC=6$ et $AM=2$.

Calculer $AN$ et $MN$. 2pts

Partie B : Évaluation des compétences ($9$ points)

Figures et données

Contexte

Pendant le NGUON $2018$ à Foumban, les stands de glaces, de frites et de popcorns proposent deux emballages possibles de leurs produits au même prix. Au stand de glace, soit on remplit le cône à ras bord par la glace, soit on pose la boule de chocolat sur le cône (figure $1$). Côté frites, soit on sert les frites dans l’emballage en forme de cône, soit on les sert dans l’emballage en forme de pyramide à base carrée (figure $2$). Pour les popcorns, soit on sert pleinement les popcorns dans le récipient en forme de demi-sphère, soit on les sert pleinement dans le récipient en forme de pavé à base carrée (figure $3$). Un parent qui voudrait offrir ces trois produits à ses enfants, cherche à choisir l’emballage ou le procédé qui lui donnera la plus grande quantité.

Questions

1. Comment devrait-on servir la glace à ce parent ? $3$ points
2. Dans quel emballage devrait-on lui servir ses frites ? $3$ points
3. Dans quel emballage devrait-on lui servir ses popcorns ? $3$ points

PARTIE A : ÉVALUATION DES SAVOIRS (10 pts)

I. Activités numériques : 5 pts

Exercice 1 : 3,75 pts

On donne :
$A=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{18}$ ;   $B=\sqrt{12}+2\sqrt{48}-\sqrt{75}$ ;   $C=(3\sqrt{5}-7)^2$ ;   $D=\dfrac{2}{5-\sqrt{3}}$.

1. Écrire $A$ sous la forme d’une fraction irréductible. 0,75 pt
2. Mettre $B$ sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible. 0,75 pt
3. Montrer que $C=94-42\sqrt{5}$. 0,75 pt
4. Comparer $3\sqrt{5}$ et $7$. 0,5 pt
5. En déduire l’écriture de $\sqrt{94-42\sqrt{5}}$. 0,5 pt
6. Écrire $D$ sans radical au dénominateur. 0,5 pt

Exercice 2 : 1,25 pt

1. Factoriser l’expression $49-(-x+2)^2$. 0,5 pt
2. Calculer $D(-1)$. 0,25 pt
3. Déterminer $PGDC(16;12)$ par l’algorithme des soustractions. 0,5 pt

II. Activités géométriques : 5 pts

Exercice 1 : 2,25 pts

On donne : $BC=70$ ; $CH=20$ ; $mes\widehat{CBA}=60^\circ$ ; $mes\widehat{BCD}=90^\circ$.

1. Montrer que $mes\widehat{HCD}=60^\circ$. 0,75 pt
2. Calculer $CA$, $HD$ et $AD$. 1,5 pt

On donne : $\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\tan 60^\circ=\sqrt{3}$.

Exercice 2 : 2,75 pts

On considère la figure suivante où $[NR]$ est un diamètre. Compléter le tableau ci-dessous.

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (9 pts)

M. ETOUNDI a construit une maison de la forme rectangulaire de longueur $8\ \text{m}$ et de largeur $6\ \text{m}$. Il désire mettre la toiture. Pour cela, le charpentier pose à $4\ \text{m}$ du pied du mur une échelle de $7\ \text{m}$. Le mur ayant une hauteur de $5\ \text{m}$.

Pour faire la toiture de cette maison, M. ETOUNDI se rend à la quincaillerie du coin pour acheter des tôles de la forme rectangulaire de $2\ \text{m}^2$ de surface et coûtent $5\,000$ frs CFA l’unité.

Taches :

1. Pour que cette échelle soit en équilibre, un géomètre dit au charpentier qu’il faut que l’angle $\widehat{A}$ que l’échelle fait avec le sol soit inférieur à $40^\circ$. Est-ce vrai ? 3 pts
2. Le charpentier demande à M. ETOUNDI de se préparer avec $100\,000$ frs pour l’achat des tôles. Cette somme suffira-t-elle vraiment ? 3 pts
3. Pour finaliser les travaux, le maçon dit que le montant doit être $\dfrac{2}{3}$ de $750\,000$ frs augmenté de $\dfrac{1}{5}$ de $750\,000$ frs multiplié par $\dfrac{7}{10}$ de $750\,000$ frs. 3 pts

I- ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

A) ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (05,5 points)

1. A) Déterminer le pgcd de $6630$ et $12012$ (0,5 pt)
   B) En déduire le ppcm $6630$ et $12012$ (0,5 pt)
2. On considère les nombres réels suivants :
   $A=\left(1-\frac{17}{10}\right)\div\left(-1+\frac{20}{7}\right)$ $B=\frac{2}{3-2\sqrt{2}}$ $C=7-2\sqrt{3}$
   1. Calculer $A$ et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible (0,75 pt)
   2. Écrire $B$ sans radical au dénominateur (0,75 pt)
   3. Sachant que $1,73<\sqrt{3}<1,74$, donner un encadrement de $C$ (0,5 pt)
3. On considère les expressions littérales suivantes :
   $D=x^2-9+(x-3)(5x+7)+25x^2-49$ $E=\frac{(x-5)(2x+5)}{(x+5)(5x-10)}$ $F(x)=(2x-1)^2-(x-5)(2-x)$
   1. Donner la forme factorisée de $D$ (1 pt)
   2. Donner la condition d’existence de $E$ (0,75 pt)
   3. Développer et réduire $F$ (0,75 pt)

B) ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (04,5 points)

EXERCICE 1

1. On donne les intervalles suivants : $A=]-\infty;3]$, $B=]-2;+\infty[$ et $C=[-3;4[$, déterminer $A\cap B$ et $B\cup C$ puis les représenter sur deux droites graduées distinctes. (1 pt)
2. Dans le triangle $ABC$, on a $AB=5\,\text{cm}$, $AC=4\,\text{cm}$ et $BC=3\,\text{cm}$. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle. (0,5 pt)
3. Considérer $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $\sin\widehat{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
   1. Calculer $\cos\widehat{ABC}$ sous la forme d’une fraction irréductible (0,5 pt)
   2. En déduire $\tan\widehat{ABC}$ sous la forme d’une fraction irréductible (0,5 pt)
   3. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ (0,5 pt)
4. On considère le triangle rectangle $ABO$ tel que $BO=8\,\text{cm}$, $AB=6\,\text{cm}$ et $AO=10\,\text{cm}$. $E$ et $F$ sont des points respectifs des droites $[OB]$ et $[OA]$ avec $OE=6\,\text{cm}$, $EF=4,5\,\text{cm}$ et $AF=2,5\,\text{cm}$.
   1. Calculer $\cos\widehat{AOB}$ et en déduire la mesure de l’angle $\widehat{AOB}$ (0,75 pt)
   2. Calculer $\tan\widehat{EFO}$ et déduire la mesure de l’angle $\widehat{EFO}$ (0,75 pt)

II- ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (09 points)

Situation-problème

Monsieur Abdou a un champ de forme rectangulaire de longueur $40\,m$ et de largeur $30\,m$ qu’il veut exploiter pour réaliser diverses cultures. Afin de faciliter le transport de ses cultures, il demande à son frère André de faire passer une route de largeur $L$ ayant pour superficie le $\frac{1}{10}$ de la superficie totale de son terrain (voir figure ci-dessous). Monsieur Abdou s’interroge : il aimerait savoir si la route est bien construite (c’est-à-dire si ses bornes sont parallèles, si elles gardent le même espacement $L$ et déterminer sa longueur).

Données

On donne : $AB=DC=40\,m$ De plus : $AD=BC=30\,m$ Aussi : $DB=50\,m$ ; $EC=20\,m$ Enfin : $EF=25\,cm$ ; $CF=15\,m$

Organisation des parcelles

Monsieur Abdou décide de cultiver du plantain et du macabo sur la parcelle $ADB$ et les pommes de terre sur la parcelle $ECF$. Pour bien organiser la parcelle $ADB$, sa femme le conseille de séparer la culture du plantain et celle du macabo par une clôture grillagée $[IJ]$ perpendiculaire au segment $[AB]$ tel que $[IB]=16\,m$. Monsieur Abdou aimerait connaître le montant à dépenser pour la mise en place de la clôture si le grillage lui coûte $1200$ par mètre.

Par ailleurs, il lance un projet agricole sur les parcelles $ECF$ et $IBJ$. Pour établir le devis total, il se rapproche d’un ingénieur agronome qui lui dit ceci :

• Pour la parcelle $ECF$, il faut un seau de semence de pommes de terre à chaque $10\,m^2$ et un seau de semence coûte $2500$ fcfa.
• Pour la parcelle $IBJ$, il faut $5$ bourgeons de plantains à chaque $m^2$ et un bourgeon de plantain coûte $500$ fcfa.

Tâches

1. Verifier avec Monsieur Abdou si la route est bien construite. (3 pts)
2. Aide Monsieur Abdou veut déterminer le montant à dépenser pour l’achat du grillage de la clôture. (3 pts)
3. Aide Monsieur Abdou à déterminer le devis total de son projet agricole. (3 pts)

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (5 pts)

EXERCICE 1 (2,75 pts)

Soit le polynôme $P(x)=(3x-2)(x+3)-9x^2+4$.

1. Développer, réduire et ordonner $P(x)$. [0,5 pt]
2. Montrer que $P(x)=(3x-2)(-2x+1)$. [0,5 pt]
3. On pose la fraction rationnelle $Q(x)=\dfrac{x(-2x+1)}{(3x-2)(-2x+1)}$.
   1. Déterminer la condition d’existence de $Q(x)$. [0,75 pt]
   2. Simplifier la fraction rationnelle $Q(x)$. [0,5 pt]
   3. Calculer la valeur numérique de $Q(x)$ pour $x=2$. [0,5 pt]

EXERCICE 2 (2,25 pts)

Dans l’ensemble $\mathbb{R}$ :

1. Traduire à l’aide des inégalités l’appartenance de $x$ à chacun des intervalles suivants : $x\in[-2;+\infty[$ ; $x\in]-\infty;3[$ ; $x\in[-3;-2]$. (0,75 pt)
2. Représenter sur une droite graduée puis écrire plus simplement : $]-\infty;3[\cap[-3;2[$ et $[-2;-1[\cup[-1;+\infty[$. [0,75 pt × 2]

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (5 pts)

EXERCICE 1 (2,5 pts)

On donne le triangle $ABC$ équilatéral de côté $10\,cm$. On note $I$ et $O$ les milieux respectifs des côtés $[BC]$ et $[AC]$. Soit $H$ le symétrique de $I$ par rapport à $O$.

1. Faire une figure précise et placer tous les points. [0,5 pt]
2. Justifier que la distance $IO=\dfrac{AB}{2}$ et calculer $AI$. [1 pt]
3. Les droites $(AI)$ et $(HC)$ sont-elles parallèles ? Justifier. [1 pt]

EXERCICE 2 (2,5 pts)

$KAP$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $KP=10\,cm$ et $\widehat{APK}=30^\circ$ (on rappelle que $\sin30^\circ=\dfrac{1}{2}$).

Suite de l’EXERCICE 2 (triangle KAP)

1. Donner l’expression de $\sin\widehat{APK}$ dans le triangle $KAP$. [0,5 pt]
2. Calculer la distance $KA$. [1 pt]
3. Déterminer la distance $AP$. [1 pt]

ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

Situation-problème

Lors du lancement des activités par la coopérative scolaire du Lycée Joss, le club art et culture nationale a proposé du jus naturel de baobab à $100\,fcfa$ dans une mesurette sous forme d’un cône de rayon $3\,cm$ et de hauteur $10\,cm$ (voir la figure). Sachant que le club a prévu $20\,L$ pour la circonstance.

Tâches

1. Combien de mesurettes maximum le club pourra vendre ? [3 pts]
2. Combien le club gagnera-t-il à la fin de la cérémonie ? [3 pts]
3. Quel volume de jus aurait été nécessaire si le club art et culture voulait faire une recette de $85\,000\,fcfa$ ? [3 pts]

I- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (05 points)

Exercice 1 (02,5 points)

1. Soit l’écriture $E=\dfrac{10}{9}\times\dfrac{6}{5}-\dfrac{2}{3}$.
   Calculer $E$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible. (0,5 pt)
2. On considère l’expression $A=(2x+3)^2-(x-4)^2$.
   1. Développer et réduire $A$. (0,5 pt)
   2. Écrire $A$ sous la forme d’un produit de deux facteurs. (0,5 pt)
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(x+7)(3x-1)=0$. (0,5 pt)
   4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $3x-1\ge x+7$. (0,5 pt)

Exercice 2 (02,5 points)

1. On considère l’écriture $B=\sqrt{27}+\sqrt{75}-12\sqrt{3}-1$.
   Calculer $B$ et donner le résultat sous la forme $a+b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers. (0,5 pt)
2. Le tableau statistique suivant donne la répartition des notes de mathématiques des élèves d’une classe de troisième obtenues à la deuxième séquence.
   1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. (1 pt)

      Intervalle des notes	[0,5[	[5,10[	[10,15[	[15,20[
      Effectif ($n_i$)	15	20
      Fréquence (en %)	30%			10%

   2. Déterminer la classe modale de cette série statistique. (0,25 pt)
   3. Calculer la moyenne des notes de cette classe. (0,75 pt)

II- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (05 points)

Exercice 1 (02,75 points)

1. On donne un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=8\,cm$ et $AC=6\,cm$.
   1. Faire la figure. (0,5 pt)
   2. Montrer que $BC=10\,cm$. (0,5 pt)
2. 1. Calculer la tangente de l’angle $\widehat{ABC}$. (0,5 pt)
   2. En déduire, en degré près, la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$. (0,25 pt)
3. Soit $M$ un point du segment $[AB]$ et $N$ un point du segment $[AC]$ tels que la droite $(MN)$ soit parallèle à la droite $(BC)$ et $AM=3\,cm$.
   Calculer $AN$ et $MN$. (1 pt)

Exercice 2 (02,25 points)

$SABCD$ est une pyramide régulière de base carrée telle que $AB=6\,cm$ et de volume $V=72\,cm^3$.

1. Calculer la hauteur de cette pyramide. (1 pt)
2. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base.
   1. Déterminer le volume $V_1$ de la pyramide réduite sachant que le coefficient de réduction est $k=\dfrac{1}{3}$. (1 pt)
   2. En déduire le volume $V_2$ du tronc de pyramide obtenu. (0,25 pt)

Partie A : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation

Madame NGONO vient de se lancer dans la vente du jus de foléré. Pour attirer plus la clientèle, elle décide d’adopter des boîtes spéciales de forme conique de hauteur $9\,cm$, dont la base a un rayon de $4\,cm$. Pour la fête du $11$ février, elle a préparé $15$ litres de jus de foléré.

Après le défilé, Madame NGONO a engagé son fils Ibrahima, statisticien, pour mener une étude sur le terrain, celle de savoir les tranches d’âges qui apprécient son produit. En fin de soirée, Ibrahima a dressé un histogramme (figure 2).

Le $14$ février (Saint-Valentin), Ibrahima fait une sortie avec son amie Fatimatou et son cousin Sali. Ibrahima commande de la bière pour tous, mais Sali lui demande si Fatimatou est majeure pour prendre une boisson alcoolisée. Ibrahima répond : « Son père est trois fois plus âgé qu’elle. Mais dans $20$ ans, l’âge de son père sera le double de son âge. »

Tâches

1. Combien de boîtes de jus de foléré au maximum peut-elle remplir en utilisant le contenu du seau plein ? (3 pts)
2. Quelle tranche d’âges aime le plus le jus de foléré de Mme NGONO ? Déterminer l’âge moyen des consommateurs du jus de Mme NGONO. (3 pts)
3. Sachant que l’âge légal pour la consommation de la boisson alcoolisée est de $18$ ans, Fatimatou doit-elle consommer de la bière ? (3 pts)

I- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (5 points)

1. 1. Développer $(\sqrt{17}-3\sqrt{2})^2$. (0,5 pt)
   2. En déduire l’écriture simplifiée de $\sqrt{35-6\sqrt{34}}$. (0,5 pt)
2. 1. Mettre $C=\dfrac{1+2\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}$ sous la forme $a+b\sqrt{5}$. (0,75 pt)
   2. Sachant que $2,236<\sqrt{5}<2,237$, donner un encadrement de $C$ à $3\times10^{-3}$ près. (0,75 pt)
3. 1. Factoriser l’expression $x^2-9+(7x+21)$. (0,5 pt)
   2. Résoudre l’équation $(x+3)(x+4)=0$. (0,5 pt)
4. Résoudre le système d’inéquations suivant : $\begin{cases} 3x+3<2x+6\\ -x-2\le0 \end{cases}$ (1,5 pts)

II- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (4 points)

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=8\,cm$ et $BC=5\,cm$. $M$ est un point de $[CD]$ tel que $CM=6\,cm$. $N$ est le point d’intersection des droites $(AD)$ et $(BM)$.

1. Faire la figure. (1 pt)
2. Calculer $\tan\widehat{MBC}$. (1 pt)
3. En déduire la valeur approchée à un degré près par défaut de la mesure de l’angle $\widehat{MBC}$. (0,5 pt)
4. Calculer la mesure exacte de chacun des segments $[BM]$, $[DN]$ et $[BN]$. (1,5 pts)

Palier de compétence

Résoudre une situation problème, déployer un raisonnement logique et communiquer à l’aide du langage mathématique en faisant appel à la notion d’encadrement, à la soustraction des nombres, aux équations de premier degré dans $\mathbb{R}$ et à la trigonométrie.

N.B. : Cette partie comporte trois questions indépendantes.

Encadrement d’une durée

1. Kengne vient de faire un trajet en voiture en deux étapes :
   • Lors de la première étape, il se souvient être parti entre $15h$ et $15h30$, puis s’être arrêté entre $17h15$ et $18h$.
   • Lors de la deuxième étape, il est reparti entre $18h15$ et $18h30$, puis il est arrivé à destination entre $20h$ et $20h15$.
   Donner un encadrement de la durée totale pendant laquelle Kengne a roulé. (3 pts)

Problème d’âges

2. Un père a trois fois l’âge de son fils et vingt ans de moins que son père. Dans cinq ans, ils auront cent douze ans à eux trois.
   Déterminer les âges du fils, du père et du grand-père. (3 pts)

Trigonométrie et mesure

3. Le père de Fotso a pêché un superbe requin. Fotso le regarde comme l’indique le schéma ci-dessous. L’œil de Fotso est situé au point $A$ et le poisson, situé à $10\,cm$ de lui, est représenté par le segment $[BC]$.
   Quelle est la taille de ce poisson, arrondie au centimètre près, en $cm$ ? (3 pts)

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (5 points)

Exercice 1 (1,5 point)

Pour chacune des questions suivantes, choisir la lettre correspondant à la réponse juste.
(Réponse juste = 0,5 pt ; réponse fausse = 0 pt ; aucune réponse = 0 pt)

Exercice 2 (3,5 points)

On donne : $a=132$ ; $b=348$ ; $A=\dfrac{7}{3}-\dfrac{8}{7}\div\dfrac{3}{14}$ ; $B=\dfrac{132}{348}$.

1. Calculer $A$ et écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. (1 pt)
2. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le $PGCD$ de $a$ et $b$. (1 pt)
3. En déduire le $PPCM$ de $a$ et $b$. (0,5 pt)
4. Dire, en justifiant, si les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux. (0,5 pt)
5. Écrire sous forme de fraction irréductible le nombre $B$. (0,5 pt)

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (5 points)

Exercice 1 (1,5 point)

Dans chacun des cas ci-dessous, déterminer l’inconnue $x$.

(a) $\dfrac{2}{5}=\dfrac{x}{3}$ (b) $\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{2x}$ (c) $\dfrac{3x}{4}=\dfrac{2}{3}$

Exercice 2 (3,5 points)

1. Énoncer la propriété directe de Thalès dans un triangle. (0,5 pt)
2. 1. Construire un triangle $ABC$ tel que $AB=8\,cm$, $AC=7\,cm$ et $BC=10\,cm$. (0,5 pt)
   2. Placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ tel que $AM=4,8\,cm$. (0,25 pt)
   3. La parallèle à $(AC)$ passant par $M$ coupe $(BC)$ en $N$. Placer le point $N$. (0,25 pt)
3. Calculer $MN$. (0,75 pt)
4. Placer le point $S$ du segment $[AC]$ tel que $AS=2,8\,cm$. (0,25 pt)
5. Les droites $(SM)$ et $(AB)$ sont-elles parallèles ? Justifier. (0,5 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Monsieur Kamga est un cultivateur de vivres frais. Il ravitaille deux marchés périodiques des environs de Yaoundé : celui de Nkometou qui a lieu tous les $8$ jours et celui d’Obala qui a lieu tous les $6$ jours. Pour limiter les dépenses liées au transport de la marchandise, il décide de se déplacer uniquement lorsque les deux marchés coïncident. La dernière fois qu’il s’est rendu dans les deux marchés était le 10 septembre 2018.

Ensuite, dans le souci de protéger le mur de son magasin contre les eaux de ruissellement, Monsieur Kamga a décidé de recouvrir la face arrière de sa maison avec des carreaux identiques, sans faire de coupes ni de joints. Ainsi, il sollicite l’aide de son fils Alex, élève en classe de troisième, afin d’évaluer le coût de ces travaux.

Alex mesure la largeur du mur et trouve $10$ mètres. Cependant, pour déterminer la hauteur du mur, il se souvient d’une de ses leçons de mathématiques et procède comme suit :

Monsieur Kamga soulève verticalement une latte et place l’une de ses extrémités au sommet du mur. Puis, il introduit entre la latte et le sol, perpendiculairement au sol, une règle de $1\,m$ de long. Enfin, il mesure la distance qui sépare la règle du sol et trouve $3{,}75\,m$, puis celle séparant la règle de l’autre extrémité de la latte et trouve $1{,}25\,m$ (voir figure ci-dessus).

Questions

1. Quelle est la date du prochain déplacement de Monsieur Kamga dans ces marchés ? (3 pts)
2. Quelle doit être la longueur du côté d’un carreau si Monsieur Kamga veut utiliser le moins de carreaux possibles ? (3 pts)
3. Dans une quincaillerie, il trouve des carreaux de côtés $20\,cm$, $40\,cm$ et $55\,cm$ dont un paquet de $10$ carreaux coûte $6000$ francs CFA. Quelle catégorie de carreaux doit-il choisir s’il souhaite toujours utiliser le moins de carreaux possibles ? Et combien doit-il dépenser à cet effet ?
   (On suppose dans cette question que le mur a une hauteur de $4\,m$.) (3 pts)

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

Exercice 1 (1,5 pts)

1. Montrer que $A=\dfrac{0{,}000256\times34}{0{,}0000032\times16}$ est un entier naturel. (0,75 pt)
2. Déterminer $pgcd(24;36)$ en utilisant l’algorithme d’Euclide. (0,75 pt)

Exercice 2 (1,75 pts)

On considère la fonction $A(x)=2x^2+7x+3+(x+3)(x-7)$.

1. Vérifier que $(2x+1)(x+3)=2x^2+7x+3$. (0,25 pt)
2. Montrer que la forme factorisée de $A(x)$ est $A(x)=3(x+3)(x-2)$. (0,5 pt)
3. Montrer que l’équation $A(x)=0$ admet pour solutions $S=\{-3;2\}$. (0,5 pt)
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $x+3\le3x-6$. (0,5 pt)

Exercice 3 (1,75 pts)

Soit $m=3-2\sqrt{3}$ un réel.

1. Montrer que $m$ est négatif. (0,25 pt)
2. Justifier que $m^2=21-12\sqrt{3}$. (0,5 pt)
3. En déduire que $\sqrt{21-12\sqrt{3}}=|m|$. (0,5 pt)
4. Justifier que $-0{,}48<m<-0{,}46$. (0,5 pt)

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (5 pts)

Exercice 1 (3 pts)

Après un devoir de mathématiques, l’enseignant d’une classe de troisième lit les notes de ses élèves regroupées par classes d’égale amplitude.

1. Recopier et compléter le tableau suivant. (1,25 pt)

   Classe (notes)	[0;4[	[4;8[	[8;12[	[12;16[	[16;20[	Totaux
   Effectifs ($n_i$)	6	15	18	16	5
   Centre ($c_i$)						//////////
   $n_i\times c_i$

2. Identifier la population étudiée. (0,25 pt)
3. Justifier que le caractère étudié est quantitatif. (0,25 pt)
4. Déterminer la classe modale. (0,25 pt)
5. Déterminer le nombre d’élèves ayant eu au moins le tableau d’honneur. (0,5 pt)
6. Calculer la moyenne générale de la classe. (0,5 pt)

Exercice 2 (2 pts)

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6{,}4\,cm$, $BC=8\,cm$ et $AC=4{,}8\,cm$.

1. Réaliser la figure et démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. (0,75 pt)
2. Calculer le cosinus de l’angle en $B$ et en déduire sa mesure en degré. (0,75 pt)
3. $M$ est un point du segment $[BC]$ tel que $BM=6{,}25\,cm$ et $N$ est un point du segment $[AB]$ tel que $BN=5\,cm$. Démontrer que les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles. (0,5 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

Suite à l’évolution de la construction des bâtiments au CES de Makalingaï, une visite du ministre des enseignements secondaires sera organisée après achèvement. Pour cela, le Directeur du CES de Makalingaï a fait appel à un technicien qui doit réaliser un ouvrage d’art entièrement en béton à l’entrée de l’établissement.

Le Directeur doit choisir entre :

• un modèle A ayant la forme d’un cône de révolution de hauteur $6\,m$ et dont le disque de base a un diamètre égal à $4\,m$ ;
• un modèle B ayant la forme d’une pyramide régulière de hauteur égale à $6\,m$ et dont la base est un carré de côté $4\,m$.

Pour les travaux de peinture, on utilisera une peinture valant $3000$ F par $m^2$. L’établissement voisin (CEFAMAK) a réalisé un ouvrage d’art de forme conique dont la base a un diamètre égal à $6\,m$ et dont une génératrice $[ON]$ est égale à $5\,m$.

Tâches

1. Calculer la dépense pour l’achat de la peinture si le Directeur choisit de réaliser un ouvrage d’art de forme conique (modèle A). (3 pts)
2. Determiner la dépense pour l’achat de la peinture si le Directeur choisit de réaliser un ouvrage d’art de forme pyramidale (modèle B). (3 pts)
3. Calculer la dépense pour l’achat de la peinture si le Directeur veut réaliser un ouvrage d’art identique à celui de CEFAMAK. (3 pts)

NB : Les bases ne seront pas peintes.

Prendre $\pi=3{,}14$.

A- ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

EXERCICE 1 (02,5 points)

On donne les expressions littérales suivantes : $A=4(2x+3)-7x(2x+3)$ ; $B=8-14x$.

1. Factoriser $A$ et $B$. (1 pt)
2. Déterminer la condition d’existence d’une valeur numérique de la fraction rationnelle $F=\dfrac{4(2x+3)-7x(2x+3)}{8-14x}$. (0,5 pt)
3. Simplifier $F$. (0,5 pt)
4. Calculer la valeur numérique de $F$ pour $x=-\dfrac{1}{2}$. (0,5 pt)

EXERCICE 2 (03,5 points)

On donne : $A=16x^2-25-(5-4x)(x+2)$ ; $B=\dfrac{7\times10^{-12}\times4\times10^{5}\times25}{2\times10^{-4}\times5}$ et $C=\left[\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{5}\right)\times\dfrac{20}{21} -\dfrac{5}{7}\div\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{21}\right]$ .

1. Développer, réduire et ordonner $A$. (0,75 pt)
2. Factoriser $A$. (0,75 pt)
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(4x-5)(5x+7)=0$. (0,5 pt)
4. Donner l’écriture décimale puis la notation scientifique de $B$. (0,75 pt)
5. Calculer de manière performante et montrer que $C=1$. (0,75 pt)

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

EXERCICE 3 (04 points)

On observe le cône de révolution d’axe $[AC]$ et de génératrice $[CE]$ ci-contre. L'on pose : $AC=3\,cm$, $FB=\dfrac{2}{3}\,cm$ et $BC=1\,cm$. Et admet que les droites $(FB)$ et $(AE)$ sont parallèles.

1. 1. Montrer que $AE=2\,cm$. (1 pt)
   2. En déduire que le volume $\mathcal{V}$ de ce cône est $\mathcal{V}=12{,}56\,cm^3$ (on prendra $\pi=3{,}14$). (1 pt)
   3. En considérant les droites $(AE)$ et $(AC)$ perpendiculaires, calculer $CE$. (1 pt)
2. On coupe ce cône suivant le plan passant par $B$ et parallèle au plan de base.
   Calculer le volume du tronc de cône issu de cette coupe. (1 pt)

ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (09 points)

Monsieur Duplex est un mécanicien d’automobiles. Il dispose dans son magasin des réservoirs pleins d’essence, de gasoil et de pétrole. Il compte vendre chacun de ces produits dans des bouteilles identiques de capacité $1\,litre$ chacune.

Réservoir A a la forme d’un tronc de cône et contient de l’essence dont le litre est vendu à $650\,FCFA$.
Le réservoir B a la forme d’un tronc de pyramide régulière dont la base est un carré et contient du gasoil dont le litre est vendu à $600\,FCFA$.
Réservoir C a la forme d’un prisme droit à base rectangulaire et contient du pétrole dont le litre est vendu à $400\,FCFA$.
(Voir les différentes figures ci-dessous.)

Données

Réservoir A : On donne $SA=1{,}5\,m$, $SA'=0{,}24\,m$ et $AB=0{,}9\,m$. Le réservoir B : $DEFG$ est un carré de côté $1{,}2\,m$, $H=1{,}75\,m$ et $h=0{,}35\,m$. Réservoir C : $IPQT$ est un rectangle tel que $IP=0{,}6\,m$, $IQ=1\,m$ et $OJ=1{,}5\,m$.

Tâches

1. Calculer la recette maximale de Monsieur Duplex issue de la vente de l’essence. (3 pts)
2. Calculer la recette maximale de Monsieur Duplex issue de la vente du gasoil. (3 pts)
3. Determiner la recette maximale de Monsieur Duplex issue de la vente du pétrole. (3 pts)