Trigonométrie dans le triangle rectangle

INTERET

La trigonométrie a pour intérêt de mettre en relation les longueurs des côtés d’un triangle rectangle et la mesure des angles aux sommets.

MOTIVATION

La trigonométrie a beaucoup d’application dans les domaines variés : navigation, construction de bâtiment, cartographie, astronomie…

LEÇON 1 : Sinus d’un angle dans un triangle

MOTIVATION

Déterminer la mesure d’un angle ou la longueur d’un côté dans un triangle rectangle en utilisant le sinus.

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Trouver à l’aide d’une calculatrice le sinus d’un angle aigu de mesure donnée.
• Trouver à l’aide d’une calculatrice la mesure en degrés (ou un encadrement de cette mesure) d’un angle aigu dont on connaît le sinus.
• Calculer le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
• Utiliser le sinus pour calculer une longueur dans un triangle rectangle.

PRÉREQUIS

1) Triangle rectangle (propriété de Pythagore)

1. Construire un triangle rectangle $IJK$ tel que : $IJ = 6\ \text{cm}$ ; $JK = 8\ \text{cm}$ et $IK = 10\ \text{cm}$.
2. Quelle côté représente l’hypoténuse ?
3. Montrer que ce triangle est rectangle.

2) Relation de proportionnalité (déterminer la 4^ème proportionnalité)

Déterminer $x$ dans chaque cas en donnant le résultat avec un arrondi à $0,1$ près :

• a) $\dfrac{x}{2} = \dfrac{7}{4}$
• b) $3x = \dfrac{15}{2}$
• c) $\dfrac{21}{8} = \dfrac{6}{x}$

3) Utilisation de la calculatrice

4) Donner quelques angles aigus

Solution

1)

• a) Construction du triangle.
• b) Le côté qui représente l’hypoténuse est le côté $IK$.
• c) $IJ^2 = 6^2 = 36$ ; $JK^2 = 8^2 = 64$ et $IK^2 = 10^2 = 100$.
  Comme $64 + 36 = 100$, alors le triangle $IJK$ est rectangle en $J$.

SITUATION PROBLÈME

Monsieur Kamga possède un terrain qui a la forme d’un triangle $ABC$ rectangle en $A$. Ce terrain est partagé en deux parcelles $HAC$ et $AHB$. Monsieur Kamga veut connaître la longueur du côté $[AH]$.

Aider Monsieur Kamga à retrouver la longueur du côté $[AH]$.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

L’unité est le mètre.

On considère les deux triangles rectangles $EFG$ et $ABH$ tels que :

• $EF = 4$
• $FG = 4\sqrt{3}$
• $EG = 8$
• La mesure de l’angle $\widehat{GEF} = 60^\circ$

1. Calculer le rapport $\dfrac{FG}{EG}$.
2. À l’aide de ta calculatrice scientifique, utiliser la touche $\sin$ pour calculer $\sin 60^\circ$ et comparer avec la question 1).
3. En te servant de la figure, proposer une définition de $\sin \widehat{GEF}$.
4. Quelle est la longueur du côté $[AH]$ dans le triangle $ABH$ ?

RÉSOLUTION DE L’ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

1. Calcul du rapport $\dfrac{FG}{EG}$ :
   \[ \dfrac{FG}{EG} = \dfrac{4\sqrt{3}}{8} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
2. Avec la calculatrice :
   \[ \sin 60^\circ = 0{,}866025403 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]
   Comparaison : $\sin 60^\circ = \dfrac{FG}{EG}$.
3. Définition proposée :
   \[ \sin \widehat{GEF} = \dfrac{\text{côté opposé à } \widehat{GEF}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{FG}{EG} \]
4. Dans la parcelle $AHB$ :
   \[ \sin 30^\circ = \dfrac{AH}{AB} \]
   Or $\sin 30^\circ = 0{,}5$ et $AB = 80$, donc : \[ AH = 0{,}5 \times 80 = 40 \]
   Donc $AH = 40\,m$.

RÉSUMÉ

Définition

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on définit le sinus de l’angle aigu $\widehat{ABC}$ par :

\[ \sin \widehat{ABC} = \dfrac{\text{côté opposé à } \widehat{ABC}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AC}{BC} \]

Remarque

Le sinus d’un angle n’a pas d’unité.

Propriétés

• Le sinus d’un angle aigu est strictement supérieur à $0$ et strictement inférieur à $1$.
• Lorsqu’on connaît le sinus d’un angle, on peut déterminer la mesure de cet angle en utilisant les touches shift et sin pour activer la fonction $\sin^{-1}$ de la calculatrice scientifique.

Exemple

On donne : \[ \sin \widehat{ABC} = 0{,}8 \] Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ en degré, au centième près.

Solution : \[ \widehat{ABC} = \sin^{-1}(0{,}8) = 53{,}13010235\ldots \approx 53{,}13^\circ \]

$\sin \widehat{ABC} = 0{,}4$. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ au degré près.

Solution

À la calculatrice :
\[ \sin^{-1}(0{,}4) = 23{,}578178\ldots \] Donc la mesure de l’angle est : \[ \widehat{ABC} \approx 23^\circ \]

EXERCICES D’APPLICATION

Exercice 1 : utilisation de la calculatrice

À l’aide de la calculatrice, calculer la valeur arrondie au degré près de la mesure des angles correspondant aux sinus suivants :

Exercice 2 : détermination d’un angle dans un triangle rectangle

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que : \[ AB = 5 \quad \text{et} \quad BC = 7 \]

Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ à $0{,}01$ près.

Exercice 3 : détermination d’une distance

L’unité est le centimètre.

$DEF$ est un triangle rectangle en $D$ tel que : \[ \widehat{DEF} = 30^\circ \quad \text{et} \quad DF = 5 \]

Calculer la longueur du segment $[EF]$.

Exercice 4 : détermination d’une distance

Une échelle de longueur : \[ AC = 3{,}20\,\text{m} \] est appuyée contre un mur. Pour la sécurité, l’échelle fait un angle de : \[ 75^\circ \] avec le sol.

À quelle distance $AB$ du point $B$ doit se placer le sommet $A$ de l’échelle ?

LEÇON 2 : Cosinus d’un angle dans un triangle

MOTIVATION

Déterminer la mesure d’un angle ou la longueur d’un côté dans un triangle rectangle en utilisant le cosinus.

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Trouver à l’aide d’une calculatrice le cosinus d’un angle aigu de mesure donnée.
• Trouver à l’aide d’une calculatrice la mesure en degrés (ou un encadrement de cette mesure) d’un angle aigu dont on connaît le cosinus.
• Calculer le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
• Utiliser le cosinus pour calculer une longueur dans un triangle rectangle.

PRÉ-REQUIS

Utilisation de la calculatrice

• Identifier la touche cos de votre calculatrice.
• Identifier la touche shift, puis appuyer sur shift et sur la touche cos.
• Qu’observez-vous à l’écran ? (Voir calculatrice)

SITUATION PROBLÈME

Deux bateaux sont au large du port de Douala et souhaitent le rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points $A$ et $B$.

Les deux bateaux sont séparés par une distance $AB = 800\,\text{m}$. Le bateau $A$ voit le port sous l’angle $\widehat{PAB}$ de mesure $35^\circ$ et le bateau $B$ voit le port sous l’angle $\widehat{PBA}$, le triangle $PAB$ étant rectangle en $P$.

Quelle distance (à l’unité près) sépare le bateau $A$ du port ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

L’unité est le mètre.

On considère le triangle rectangle $PAB$ rectangle en $P$.

1. Identifier l’hypoténuse du triangle.
2. Écrire le cosinus de l’angle $\widehat{PAB}$ en fonction des côtés du triangle.
3. En déduire la longueur $AP$.
4. Arrondir le résultat à l’unité près.

RÉSUMÉ

Définition

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on définit le cosinus d’un angle aigu $\widehat{ABC}$ de la manière suivante :

$$ \cos \widehat{ABC} = \frac{\text{côté adjacent à } \widehat{ABC}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{BC} $$

Remarque

Le cosinus d’un angle n’a pas d’unité.

Propriétés

• Le cosinus d’un angle aigu est strictement supérieur à $0$ et strictement inférieur à $1$.
• Lorsqu’on connaît le cosinus d’un angle aigu, on peut déterminer la mesure de cet angle en utilisant la touche shift puis cos de la calculatrice scientifique, ce qui correspond à la fonction $\cos^{-1}$.

EXERCICES D’APPLICATION

Exercice 1 : utilisation de la calculatrice

À l’aide de la calculatrice, calcule la valeur arrondie au degré près de la mesure des angles.

Exercice 2 : détermination d’un angle dans le triangle rectangle

$EFG$ est un triangle rectangle en $F$ tel que $EF = 4\,\text{cm}$ et $EG = 7\,\text{cm}$.

Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{FEG}$ au degré près.

Exercice 3 : détermination d’une distance

L’unité est le mètre.

Calculer les longueurs des côtés $PK$ et $PJ$.

LEÇON 3 : Tangente d’un angle aigu dans un triangle

MOTIVATION

Déterminer la mesure d’un angle ou la longueur d’un côté dans un triangle rectangle en utilisant la tangente.

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Trouver à l’aide d’une calculatrice la tangente d’un angle aigu de mesure donnée.
• Trouver à l’aide d’une calculatrice la mesure en degrés (ou un encadrement de cette mesure) d’un angle aigu dont on connaît la tangente.
• Calculer la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
• Utiliser la tangente pour calculer une longueur dans un triangle rectangle.

PRÉ-REQUIS

• Identifier la touche tan de votre calculatrice.
• Identifier la touche shift, puis appuyer sur shift et sur la touche tan.
• Qu’observez-vous à l’écran ? (Voir calculatrice)

SITUATION PROBLÈME

Devant la maison familiale de monsieur NONO se trouve un lampadaire de hauteur $h = 2{,}50\,\text{m}$. Ce lampadaire dessine dans la nuit un disque de rayon $R = 95\,\text{cm}$.

Quelle est la mesure de l’angle $\alpha$, arrondie au degré près, formé par le cône de la lumière avec le sol ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

L’unité est le mètre.

$EFG$ est un triangle tel que : $EF = 2{,}55\,\text{m}$ et $FG = 0{,}95\,\text{m}$.

RÉSUMÉ

Définition

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on définit le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle aigu $\widehat{ABC}$ de la manière suivante :

• $\tan \widehat{ABC} = \dfrac{\text{côté opposé à }\widehat{ABC}}{\text{côté adjacent à }\widehat{ABC}} = \dfrac{AC}{AB}$

Remarque

La tangente d’un angle n’a pas d’unité.

Propriété

Lorsqu’on connaît la tangente d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant respectivement les touches shift et tan pour activer la touche $\tan^{-1}$ de la calculatrice scientifique.

Exemple 1

On donne : $\tan \widehat{ABC} = 0{,}5$. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ en degré au centième $(0{,}01)$ près.

EXERCICES D’APPLICATION

Exercice 1 : utilisation de la calculatrice

À l’aide de la calculatrice, calcule la valeur arrondie au degré de la mesure des angles.

Exercice 2 : détermination d’un angle dans un triangle

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que : $AB = 5$ et $AC = 7$.

Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$ à $0{,}01$ près.

LEÇON 4 : Utilisation des formules trigonométriques

MOTIVATION

Utiliser les formules trigonométriques pour déterminer la mesure des angles aigus.

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Utiliser les formules trigonométriques pour trouver la mesure d’angles aigus.

PRÉ-REQUIS

Déterminer $x$

a) $x^2 - 3 = 1$
b) $x^2 + y^2 = 1$ avec $y = 0{,}4$

Solution

a) $x^2 - 3 = 1 \;\Rightarrow\; x^2 = 4 \;\Rightarrow\; x = \sqrt{4}$ ou $x = -\sqrt{4}$
Donc $x = 2$ ou $x = -2$.

b) $x^2 + y^2 = 1 \;\Rightarrow\; x^2 = 1 - y^2$
$\Rightarrow\; x^2 = 1 - (0{,}4)^2$
$\Rightarrow\; x^2 = 1 - \left(\dfrac{4}{10}\right)^2$
$\Rightarrow\; x^2 = 1 - \dfrac{16}{100}$
$\Rightarrow\; x^2 = \dfrac{100 - 16}{100}$
$\Rightarrow\; x^2 = 0{,}84$

D’où $x = \sqrt{0{,}84}$ ou $x = -\sqrt{0{,}84}$.

SITUATION PROBLÈME

Soit $x$ la mesure d’un angle aigu tel que $\cos x = 0{,}8$.

Quelle est la valeur exacte de $\tan x$ ?

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

EFG est un triangle rectangle en F (voir figure) tel que :

$(\cos \widehat{GEF}) = 0,8 \ ;\ (\sin \widehat{GEF}) = 0,6 \ \text{et} \ \tan \widehat{GEF} = 0,75$

1. Vérifie que $(\cos \widehat{GEF})^2 + (\sin \widehat{GEF})^2 = 1$
2. Calculer $\dfrac{\sin \widehat{GEF}}{\cos \widehat{GEF}}$ et conclure.

Résolution de l’activité d’apprentissage

1) $(\cos \widehat{GEF})^2 + (\sin \widehat{GEF})^2 = (0,8)^2 + (0,6)^2$
$= \dfrac{64}{100} + \dfrac{36}{100}$
$= 1$

2) $\dfrac{\sin \widehat{GEF}}{\cos \widehat{GEF}} = \dfrac{0,6}{0,8}$
$= \dfrac{6}{8}$
$= \dfrac{3}{4} = 0,75$

Conclusion

$\tan \widehat{GEF} = \dfrac{\sin \widehat{GEF}}{\cos \widehat{GEF}}$

RESUME

Si α (alpha) est un angle aigu, on a :

• $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$
• $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Ces relations permettent de relier le sinus, le cosinus et la tangente d’un même angle aigu dans un triangle rectangle.

On en déduit également les valeurs du cosinus, du sinus des angles particuliers $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ et de la tangente de ces angles, sauf pour $90^\circ$ où la tangente n’est pas définie.

EXERCICE D’APPLICATION

Soit $a$ la mesure d’un angle aigu tel que $\sin a = 0{,}4$.

1. Calculer la valeur exacte de $\sin a$.
2. En déduire la valeur exacte de $\tan a$.