Systèmes dans ℝ²

INTERET

Les équations et inéquations du $1er$ degré dans $\mathbb{R}$ ont un intérêt dans la résolution des problèmes d’achats, de vente, de détermination de longueurs…

MOTIVATION

Pour résoudre de nombreux problèmes dans la vie, on a parfois une infinité de possibilités. Dans certains cas, on souhaite qu’elles remplissent deux ou plusieurs conditions. Comment retrouver les solutions pouvant remplir ces conditions ?

LEÇON 1 : Équation du $1er$ degré dans $\mathbb{R}^2$

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Donner des couples solutions d’une équation du $1er$ degré dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.
• Vérifier si un couple de nombres réels est solution d’une équation du $1er$ degré dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.
• Représenter l’ensemble des points dont les coordonnées sont solutions d’une équation du $1er$ degré dans $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

PRÉREQUIS

• Vérifier que le point $A(-2 \, ; \, 3)$ appartient à la droite d’équation $(D) : 3x - 4y + 18 = 0$.
  (Rappel : en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées du point $A$, l’égalité doit être vraie.)
• Représenter dans un repère orthonormé la droite $(D) : 3x - 4y + 18 = 0$.

SITUATION PROBLÈME

M. MONKAP achète dans une librairie $10$ articles constitués de stylos vendus à $150$ F et de cahiers vendus à $200$ F. Il dépense $2300$ F. Combien de stylos et de cahiers a-t-il achetés ?

Résolution

Après avoir laissé les enfants chercher et proposer leurs solutions, l'enseignent passera à l'activité d'apprentissage qui résous cette situation problème étape par étape

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

1) Choix des inconnues

On désigne par $x$ le nombre de stylos et par $y$ le nombre de cahiers.

2) Mise en équation

a) Écrire en fonction de $x$ et $y$ une équation traduisant le nombre d’articles achetés :

Solution : $x + y = 10$

b) Écrire en fonction de $x$ et $y$ une équation traduisant la dépense de M. MONKAP :

Solution : $150x + 200y = 2300$

3) Résolution

On considère les deux équations ci-dessous :

$\begin{cases} x + y = 10 \\ 150x + 200y = 2300 \end{cases}$

a. Exprime dans l’équation (1) $y$ en fonction de $x$ et appelle l’équation obtenue (3).

b. Remplace dans l’équation (2) $y$ par sa valeur obtenue dans l’équation (3) puis résoudre pour trouver la valeur de l’inconnue $x$.

c. Remplace maintenant $x$ par sa valeur trouvée ci-dessus dans l’équation (3) et détermine la valeur de l’inconnue $y$.

d. Le couple $(x\ ;\ y)$ ainsi obtenu est la solution commune aux deux équations ci-dessus.

Solution : $(-6\ ;\ 16)$

RÉSUMÉ

Dans un problème faisant appel à deux choses dont on veut déterminer les valeurs, on peut procéder par les étapes suivantes :

1. Choisir les inconnues
2. Mettre en équation : il s’agit d’utiliser les informations de l’énoncé pour écrire des équations les traduisant.
3. Rechercher les solutions : il existe à ce niveau plusieurs façons de procéder (méthode par combinaison, méthode graphique, méthode par substitution). Ici, on s’intéresse à la méthode par substitution.

MÉTHODE PAR SUBSTITUTION

On procède comme suit :

• Dans l’une des équations, on exprime l’une des inconnues en fonction de la deuxième.
• On remplace dans l’autre équation cette inconnue par son expression déterminée plus haut, puis on résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de la deuxième inconnue.
• On remplace ensuite cette deuxième inconnue par sa valeur dans l’expression de la première afin de trouver aussi la valeur de la première inconnue.

NB : L’enseignant ajoutera au besoin des exemples ou utilisera les cas de l’exercice d’application.

EXERCICES D’APPLICATION

Résoudre par substitution les systèmes d’équations suivants :

$\begin{cases} 2x + y - 6 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x + y - 6 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$

LEÇON 2 : Inéquations et systèmes d’inéquations du 1er degré dans $\mathbb{R}^2$

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Représenter l’ensemble des points dont les coordonnées sont solutions d’une inéquation du 1er degré dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$.
• Représenter l’ensemble des points dont les coordonnées sont solutions d’un système d’inéquations du 1er degré dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$.

PRÉ-REQUIS

Toute droite du plan d’équation $ax+by+c=0$ divise le plan en deux parties :

• Les points $(x;y)$ vérifiant $ax+by+c<0$.
• Les points $(x;y)$ vérifiant $ax+by+c>0$.

Représenter dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ la droite d’équation $15x+20y=230$.

SITUATION PROBLÈME

M. Monkap achète dans une librairie des articles constitués de stylos vendus à $150$ frs et des cahiers vendus à $200$ frs. Quelles possibilités d’achats de stylos et de cahiers a-t-il s’il veut au moins $10$ articles en dépensant au maximum $2300$ frs ?

RÉSOLUTION

Après avoir laissé les élèves chercher et proposer leurs solutions, l’enseignant passera à l’activité d’apprentissage qui résout cette situation problème.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

On considère les inéquations suivantes :

$\begin{cases} x+y\ge 10 \quad (I_1)\\ 15x+20y\le 230 \quad (I_2) \end{cases}$

1. Représenter dans un repère orthonormé les droites d’équations $(D_1): x+y=10$ et $(D_2): 15x+20y=230$.

SOLUTION

Quelques points permettant de tracer les droites :

$A(5;5),\; B(6;4),\; C(5;7),\; D(5;5)$

2) Hachure la partie du plan représentant les points dont les coordonnées vérifient l’inéquation $x+y\ge 10$

3) Achure d’une autre couleur la partie du plan représentant les points dont les coordonnées vérifient l’inéquation $15x+20y\le 230$

4) Indique la partie du plan où tu retrouves les achures dans les deux couleurs

Solution

RÉSUMÉ

Une inéquation du $1^{er}$ degré dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ est une inéquation de la forme :

$ax+by+c<0 \;;\; ax+by+c>0 \;;\; ax+by+c\le 0 \;$ ou $\; ax+by+c\ge 0$.

Représentation graphique d’une inéquation du $1^{er}$ degré dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

• On trace la droite dont l’équation est associée à l’inéquation.
• On hachure la partie du plan qui vérifie l’inégalité.

Représentation graphique d’un système d’inéquations du $1^{er}$ degré dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

• On représente d’une couleur l’ensemble des points solutions de la première inéquation.
• On représente d’une autre couleur l’ensemble des points solutions de la deuxième inéquation.
• L’ensemble solution du système est la partie du plan où se superposent les deux hachures.

Remarque

La résolution d’une inéquation ou d’un système d’inéquations dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ se fait par la méthode graphique.

NB : L’enseignant ajoutera au besoin des exemples ou utilisera les cas de l’exercice d’application.

EXERCICES D’APPLICATION

Résoudre graphiquement les systèmes suivants :

$\begin{cases} 2x+y-6<0\\ x-y+3<0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x+3y-1\le 0\\ 4x-5y-2\ge 0 \end{cases}$