Les nombres réels

INTERET

Les nombres réels ont pour intérêt de combler le manque laissé par l’ensemble des nombres rationnels dans la résolution de certaines situations.

MOTIVATION

Des nombreux problèmes de la vie sont modélisés grâce à la connaissance qu’on a sur les nombres réels, sur les racines carrées et des intervalles. On les utilise pour déterminer les valeurs exactes des dimensions des objets, des meubles, pour communiquer les informations.

Leçon 1 : Racines carrées

MOTIVATION

Dans la vie quotidienne, on utilise les racines carrées pour résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie dont l’ensemble $\mathbb{Q}$ est incapable d’apporter des solutions : calculer les valeurs exactes de certaines longueurs.

OBJECTIFS PEDAGOGIQUES

• Déterminer la racine carrée d’un nombre positif
• Montrer qu’un nombre positif est racine carrée d’un nombre positif
• Transformer, effectuer, réduire et écrire simplement des expressions comportant des radicaux

PREREQUIS

1. Calcule $13^2$ ; $(-13)^2$ Réponse $13^2 = 169$ ; $(-13)^2 = 169$
2. Complète les pointillés : ....? $^2 = 36$ ou encore ....? $^2 = 36$ Réponse $6^2 = 36$
   $(-6)^2 = 36$

SITUATION PROBLEME

BOGNO fait de la peinture. Il a réalisé le tableau ci-dessous constitué de carrés superposés de différentes couleurs. L’aire du grand carré est égale à $16cm^2$. En passant d’un carré au suivant, l’aire est divisée par deux. Ainsi, l’aire du carré orange a une aire moitié de celle du carré bleu, et ainsi de suite…

Aide BOGNO à trouver le côté de chacun des carrés de sa peinture.

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

On considère la peinture de BOGNO représentée ci-dessus.

1. Calcule l’aire de chacun des carrés
2. Quels sont les carrés pour lesquels il est facile de déterminer la mesure du côté ?
   Pourquoi ? Donne la mesure du côté pour ces carrés.
3. a) Construis un carré de côté $1cm$ et mesure le plus précisément possible la diagonale $d$ de ce carré. À quoi doit être égal $d^2$ ?
   
   b) Calcule $d^2$ avec la valeur mesurée. Que constates-tu ? (la valeur exacte de $d$ s’appelle la racine carrée de $2$).
   
   c) Complète les égalités suivantes : $(\sqrt{2})^2 = \ldots \qquad (\sqrt{8})^2 = \ldots$
   
   d) Trouve alors les longueurs exactes des côtés des carrés orange et jaune.

RESOLUTION DE L’ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

1. Carré bleu : aire = $16cm^2$ ; Carré orange : aire = $8cm^2$ ; Carré vert : aire = $4cm^2$
   Carré jaune : aire = $2cm^2$
2. Carré bleu : côté = $4cm$ ; Carré vert : côté = $4cm$
3. a) $d = 1,41cm$ et $d^2 = 1,98$
   b) D’après la propriété de Pythagore, $d^2 = 2$. On constate que $1,98$ est assez proche de $2$.
   c) $(\sqrt{2})^2 = 2 \qquad (\sqrt{8})^2 = 8$
   d) Alors le côté exact du carré orange est $\sqrt{8}$ et celui du carré jaune est $\sqrt{2}$.

RESUME

R₁) On appelle racine carrée d’un nombre positif $a$, le nombre positif noté $\sqrt{a}$, dont le carré est égal à $a$.

Pour tout $a \ge 0$, $(\sqrt{a})^2 = a$.

Pour tout $a \ge 0$, $x^2 = a$ signifie que $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$.

Dans l’écriture $\sqrt{a}$, le symbole « $\sqrt{\ }$ » s’appelle le radical et le nombre $\sqrt{a}$ se lit racine carrée de $a$. Les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\sqrt{a}$ sont des nombres irrationnels, ils peuvent avoir une partie décimale illimitée.

Pour tout $a$, $\sqrt{a^2} = a$ si $a \ge 0$ et $\sqrt{a^2} = -a$ si $a \le 0$.

NB : La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas (dans l’ensemble des nombres réels).

Exemple

$\sqrt{625} = \sqrt{25^2} = 25$ ;  $\sqrt{144} = \sqrt{12^2} = 12$ ;  $\sqrt{(-6)^2} = 6$ ;  $\sqrt{-5}$ n’existe pas.

EXERCICE D’APPLICATION

1. Calculer : $\sqrt{169}$, $\sqrt{4900}$, $\sqrt{0,16}$ et $\sqrt{0,0036}$
2. Calcule la longueur de la diagonale d’un carré de côté $3cm$. Donne sa mesure en $cm$ arrondie au dixième.

Leçon 2 : Opérations sur les racines carrées

MOTIVATION

Dans la vie quotidienne, on utilise les racines carrées résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie dont l’ensemble $\mathbb{Q}$ est incapable d’apporter des solutions : calculer les valeurs exactes de certaines longueurs.

OBJECTIFS PEDAGOGIQUES

Transformer, effectuer, réduire et écrire simplement des expressions comportant des radicaux

PREREQUIS

Calcule $\sqrt{13^2} = 13$ ; $\sqrt{(-13)^2} = 13$

SITUATION PROBLEME

Une table rectangulaire de cérémonie mesure $3m \times 1m$ et Bogno dispose d’une nappe circulaire de rayon $1,5m$. Pourra-t-il couvrir entièrement toute la table avec cette nappe ?

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

1. Ecris sans radical : $\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}$ ; $\sqrt{\dfrac{9}{25}}$  Que constates-tu ?
2. Ecris sans radical : $\sqrt{9} \times \sqrt{25}$ ; $\sqrt{9 \times 25}$  Que constates-tu ?
3. Calcule $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ et $\sqrt{9 + 16}$.  Que constates-tu ?
4. Ecris le nombre $a^{34}$ sous forme de puissance de $2$ puis écris sans radical le nombre $\sqrt{a^{34}}$
5. Ecris sans radical au dénominateur : $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ; $\dfrac{5}{1+\sqrt{5}}$
6. Soit $x$ $(x > 0)$ la longueur de la diagonale de la table définie dans la situation problème. En utilisant la propriété de Pythagore, calcule $x$ puis compare au diamètre de la natte

RESOLUTION DE L’ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

1. $\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \dfrac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{5^2}} = \dfrac{3}{5}$ ; $\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \dfrac{3}{5}$
   On constate que $\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \sqrt{\dfrac{9}{25}}$
2. $\sqrt{9} \times \sqrt{25} = 3 \times 5 = 15$ ; $\sqrt{9 \times 25} = \sqrt{225} = \sqrt{15^2} = 15$
   On constate que $\sqrt{9} \times \sqrt{25} = \sqrt{9 \times 25}$
3. $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ et $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
   On constate que $\sqrt{9} + \sqrt{16} \ne \sqrt{9 + 16}$
4. $a^{34} = (a^{17})^2$ et $\sqrt{a^{34}} = \sqrt{(a^{17})^2} = a^{17}$
5. $\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ; $\dfrac{5}{1+\sqrt{5}} = \dfrac{5(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \dfrac{5(1-\sqrt{5})}{1-5} = \dfrac{-5(1-\sqrt{5})}{4}$
6. Soit $d = 2 \times 1,5m = 3m$ le diamètre de la nappe. Soit $x$ $(x > 0)$ la longueur de la diagonale de la table. D’après la propriété de Pythagore, on a : $x^2 = 3^2 + 1^2$, donc $x^2 = 10$, soit $x = \sqrt{10}m$. Une valeur approchée de $x$ est égale à $3,16m$. Il est clair que $d < x$, donc la nappe ne peut pas couvrir entièrement la table de cérémonie.

RESUME

R₁) Règles de calcul sur les radicaux

$A$ et $B$ sont des nombres positifs, $n$ un entier relatif non nul :

• $\sqrt{A} \times \sqrt{B} = \sqrt{A \times B}$
• $\sqrt{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$
• $\sqrt{A+B} \ne \sqrt{A} + \sqrt{B}$ ; $\sqrt{A-B} \ne \sqrt{A} - \sqrt{B}$
• $\sqrt{A^{2n}} = A^n$ ; $\sqrt{A^{2n+1}} = A^n\sqrt{A}$

R₂) Ecriture d’une expression sans radical au dénominateur

$\dfrac{B}{\sqrt{A}} = \dfrac{B\sqrt{A}}{\sqrt{A} \times \sqrt{A}} = \dfrac{B\sqrt{A}}{A}$

Exemple : $\sqrt{\dfrac{49}{5}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{5}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5}$

En utilisant l’identité remarquable suivante $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, on déduit que les expressions $(x-y)$ et $(x+y)$ sont deux expressions conjuguées.

Exemple : $1+\sqrt{2}$ est le conjugué de $1-\sqrt{2}$ ; $2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$ est le conjugué de $2\sqrt{5}+5\sqrt{2}$

Pour écrire une fraction sans radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par l’expression conjuguée de son dénominateur.

Exemple : $\dfrac{1}{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{(2\sqrt{5}-5\sqrt{2})(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})} = \dfrac{2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{-30} = \dfrac{-(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})}{30}$

EXERCICE D’APPLICATION

1. Ecris avec un seul radical : $A = 2\sqrt{3} \times 5\sqrt{3}$    $B = 2\sqrt{45} + \sqrt{5} - \sqrt{20}$
2. Ecris simplement $\sqrt{2^{16} \times 7^{59}}$
3. Rends le dénominateur rationnel : $\dfrac{\sqrt{2}}{4\sqrt{5}}$ ; $\dfrac{3}{5+2\sqrt{3}}$
4. Écris le plus simplement possible :
   $A = 3\sqrt{8} + \sqrt{32} - \sqrt{72} - 2\sqrt{128}$
   $B = 2\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 2\sqrt{48}$
5. Développe et réduis : $(3+\sqrt{5})^2$ et $(3-2\sqrt{5})(5+2\sqrt{5})$
6. Factorise : $x^2 - 5$ ; $4x^2 - 75$
7. Rends rationnel le dénominateur :
   $E = \dfrac{6}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$    $F = \dfrac{15}{5-3\sqrt{5}}$

Leçon 3 : Ensembles des nombres réels

MOTIVATION

Dans la vie quotidienne, on utilise les nombres réels dans les situations de vie pour déterminer les valeurs exactes des dimensions des objets, des meubles et communiquer des informations.

OBJECTIFS PEDAGOGIQUES

• Consolider les acquis sur les ensembles connus.
• Reconnaître un nombre réel.

PREREQUIS

Complète par les symboles $\in$ ou $\notin$

$3 \in \mathbb{N}$ ;  $0,4 \notin \mathbb{N}$ ;  $-3 \in \mathbb{Z}$ ;  $0,4 \notin \mathbb{Z}$ ;  $\dfrac{3}{3} \notin \mathbb{D}$ ;  $\dfrac{2}{2} \in \mathbb{Q}$

SITUATION PROBLEME

La douche de M.Bogno a une forme carrée de superficie $2m^2$. Son fils de la classe de $4^{\text{ème}}$, curieux, souhaite trouver la longueur du côté de cette douche par calcul. Peut-il trouver aisément cette longueur au vue des ensembles qu’il a étudié en classe de $4^{\text{ème}}$ ?

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

1. Trouve deux nombres dans $\mathbb{Q}$ vérifiant les relations : $x^2 = 9$  ;  $x^2 = \dfrac{4}{9}$
2. Peux-tu trouver dans l’ensemble $\mathbb{Q}$ un nombre $x$ tel que $x^2 = 2$ ? Que peux-tu dire de l’ensemble $\mathbb{Q}$ ? Y a-t-il un autre ensemble dans lequel cette équation peut-elle admettre des solutions ?

RESOLUTION DE L’ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

1. $x^2 = 9$ équivaut à $x = 3$ ou $x = -3$ ;  $x^2 = \dfrac{4}{9}$ équivaut à $x = \dfrac{2}{3}$ ou $x = -\dfrac{2}{3}$
2. Dans l’ensemble $\mathbb{Q}$, on ne peut pas trouver un nombre $x$ vérifiant $x^2 = 2$. On peut dire que l’ensemble $\mathbb{Q}$ est insuffisant pour résoudre certains de nos problèmes. On peut ainsi étendre notre raisonnement dans un nouvel ensemble dans lequel l’équation $x^2 = 2$ admet des solutions.
3. $2$ admettra au moins une solution. Il s’agit de l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$. Ainsi $x^2 = 2$ équivaut à $x = \sqrt{2}$ ou $x = -\sqrt{2}$.

RESUME

R₁) Les ensembles connus : $\mathbb{N}$ ; $\mathbb{Z}$ ; $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$

R₂) Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels : ces nombres sont appelés des nombres irrationnels. La réunion de l’ensemble des nombres rationnels et de l’ensemble des nombres irrationnels est notée $\mathbb{R}$, appelée ensemble des nombres réels.

Les nombres qui contiennent le symbole « $\sqrt{\ }$ » appelé radical sont des nombres irrationnels.

NB : $\pi$ est un nombre irrationnel.

• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

EXERCICE D’APPLICATION

1. Utilise la calculatrice et donne la troncature des nombres suivants à trois décimales : $\sqrt{2}$ ; $\sqrt{3}$
2. Trouve $x$ dans chacun des cas suivants : $\dfrac{x}{5} = \dfrac{-4}{13}$    $\dfrac{4}{3x} = \dfrac{11}{7}$

Leçon 4 : Comparaisons des nombres réels et principes d’encadrements

MOTIVATION

Dans la vie quotidienne, on utilise les comparaisons et les encadrements dans les situations de vie pour prévoir les dépenses dans les opérations d’achats.

OBJECTIFS PEDAGOGIQUES

• Comparer deux nombres réels
• Encadrer un nombre par deux nombres décimaux de même décimale
• Encadrer une somme de deux nombres, une différence de deux nombres par deux nombres décimaux de même décimale
• Encadrer un produit de deux nombres, un quotient de deux nombres par deux nombres décimaux de même décimale

PREREQUIS

1) Cite les entiers relatifs compris entre $-3,2$ et $7,3$
Réponse : $-2,-1,0,1,2,3,4,5,6$ et $7$

2) Compare $1,7$ et $\dfrac{3}{2}$ ; $4$ et $-15$.
Réponse : $1,7 > \dfrac{3}{2}$ ; $4 > -15$

SITUATION PROBLEME

Au marché de Kai-Kai, le kilogramme de viande de mouton varie entre $2300$ FCFA et $2750$ FCFA, le kilogramme de viande de bœuf entre $1850$ FCFA et $2000$ FCFA. Pour la fête de la tabaski, BOGNO souhaite ravitailler la maison de $12kg$ de viande de mouton et $5kg$ de viande de bœuf. Entre quelles valeurs est compris le montant de sa dépense ?

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

1. a) Complète les égalités suivantes : $(2\sqrt{7})^2 = \ldots \times \ldots = \ldots$ et $(3\sqrt{3})^2 = \ldots \times \ldots = \ldots$
   b) Complète par $<$ ; $>$ ou $=$ : $(2\sqrt{7})^2 \ldots (3\sqrt{3})^2$ ; $2\sqrt{7} \ldots 3\sqrt{3}$
2. Compare $\dfrac{1}{89}$ et $\dfrac{1}{181}$ en comparant leurs inverses
3. On donne $a < b$, compare $a+\sqrt{3}$ et $b+\sqrt{3}$ ; $a-\sqrt{3}$ et $b-\sqrt{3}$ ; $3,7a$ et $3,7b$ ; $-2a$ et $-2b$
4. On donne $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$ et $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$. Encadre $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ ; $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\sqrt{3} \times \sqrt{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

5. Soit $x$ le prix d’un Kg de viande de mouton, $y$ le prix d’un Kg de viande de bœuf et $d$ la dépense de M.Bogno. Écris $d$ en fonction de $x$ et $y$.
6. Encadre $x$ et $y$ puis déduire l’encadrement de $d$ et réponds à la question de la situation problème.

RESOLUTION DE L’ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

1. a) $(2\sqrt{7})^2 = 4 \times 7 = 28$ et $(3\sqrt{3})^2 = 9 \times 3 = 27$
   b) Il est clair que $28 > 27$ donc $(2\sqrt{7})^2 > (3\sqrt{3})^2$ donc $2\sqrt{7} > 3\sqrt{3}$
2. Il est clair que $89 < 181$ donc $\dfrac{1}{89} > \dfrac{1}{181}$
3. $a < b$ il vient donc que $a+\sqrt{3} < b+\sqrt{3}$.
   $a < b$ il vient donc que $a-\sqrt{3} < b-\sqrt{3}$.
   $a < b$ il vient donc que $3,7a < 3,7b$.
   $a < b$ il vient donc que $-2a < -2b$.
4. Encadrement :
   • $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$ et $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ donc $1,7+1,4 < \sqrt{3}+\sqrt{2} < 1,8+1,5$ soit $3,1 < \sqrt{3}+\sqrt{2} < 3,3$
   • $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ donc $-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$ ensuite $1,7-1,5 < \sqrt{3}-\sqrt{2} < 1,8-1,4$ soit $0,2 < \sqrt{3}-\sqrt{2} < 0,4$
   • $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$ et $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ donc $1,7 \times 1,4 < \sqrt{3} \times \sqrt{2} < 1,8 \times 1,5$ soit $2,38 < \sqrt{3} \times \sqrt{2} < 2,7$
   • $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ donc $\dfrac{1}{1,5} < \dfrac{1}{\sqrt{2}} < \dfrac{1}{1,4}$ ensuite $1,7 \times \dfrac{1}{1,5} < \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} < 1,8 \times \dfrac{1}{1,4}$ soit $1,13 < \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} < 1,28$
5. Soit $d$ la dépense de M.Bogno. $d = 12x + 5y$
6. Soit $x$ le prix d’un Kg de viande de mouton : $2300 < x < 2750$.
   Soit $y$ le prix d’un Kg de viande de bœuf : $1850 < y < 2000$.
   
   $d = 12x + 5y$ ; on a $27600 < 12x < 33000$ et $9250 < 5y < 10000$.
   Soit $36850 < d < 43000$. La dépense de M.Bogno se trouve entre $36850F$ et $43000F$.

RESUME

R₁) A et B sont deux nombres positifs

• $A = B$ signifie que $A - B = 0$
• $A < B$ signifie que $A - B < 0$
• Si $A < B$ alors $\sqrt{A} < \sqrt{B}$
• Si $A < B$ alors $A^2 < B^2$
• $A^2 < B^2$ alors $A < B$
• Si $A < B$ et $C$ un nombre réel alors $A + C < B + C$
• Si $A < B$ et $C$ un nombre réel positif alors $A \times C < B \times C$
• Si $A < B$ et $C$ un nombre réel négatif alors $A \times C > B \times C$
• Si $A < B$ alors $\dfrac{1}{A} > \dfrac{1}{B}$

Exemple : $\sqrt{2} < \sqrt{3}$ et $5+\sqrt{2} < 5+\sqrt{3}$ ; $\sqrt{2} < \sqrt{3}$ et $5\sqrt{2} < 5\sqrt{3}$

$\sqrt{2} < \sqrt{3}$ et $-5\sqrt{2} > -5\sqrt{3}$ ; $\sqrt{2} < \sqrt{3}$ et $\dfrac{1}{\sqrt{2}} > \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

R₂)

$a,b,c,d,x$ et $y$ désignent des nombres réels positifs tels que : $a < x < b$ et $c < y < d$ ; on a les encadrements :

• La somme $x+y$ : $a+c < x+y < b+d$
• L’opposé $-y$ : $-d < -y < -c$
• La différence $x-y$ : $a-d < x-y < b-c$
• L’inverse $\dfrac{1}{y}$ : $\dfrac{1}{d} < \dfrac{1}{y} < \dfrac{1}{c}$
• Le produit $x \times y$ : $a \times c < x \times y < b \times d$
• Le quotient $\dfrac{x}{y}$ : $\dfrac{a}{d} < \dfrac{x}{y} < \dfrac{b}{c}$

Exemple : $3 < x < 5$ et $1,4 < y < 2$

$3,4 < x+y < 7$ ; $-2 < -y < -1,4$ ; $4,2 < xy < 10$ ;
$0,5 < \dfrac{1}{y} < 0,7$ ; $1,5 < \dfrac{x}{y} < 3,5$

EXERCICE D’APPLICATION

On donne $0,5 < x < 3,5$ et $2 < y < 4,5$. Encadre $x+2y$ ; $x-y$ et $\dfrac{2x}{3y}$.

Leçon 5 : Intervalles, intersections et réunions de deux intervalles

MOTIVATION

Dans la vie quotidienne, des solutions à certains problèmes de la vie sont modélisés grâce à la connaissance qu’on a des intervalles : donner une valeur approchée de la longueur d’un saut en hauteur et communiquer des informations.

OBJECTIFS PEDAGOGIQUES

• Reconnaître un intervalle.
• Traduire un intervalle sous forme d’inégalité et réciproquement.
• Déterminer la réunion et l’intersection de deux intervalles.

PREREQUIS

1. Qu’est-ce qu’une borne ?
2. Qu’est-ce qu’un intervalle ? Donne un exemple.

Réponse :
Borne est une marque de séparation. Un intervalle est un ensemble des nombres compris entre deux nombres. Exemple : intervalle de $2$ à $10$.

SITUATION PROBLEME

Dans une rubrique « insolite et exploits », le livre des records 1990 nous apprend qu’en 1981, on a fait sauter à $32,23dm$ le bouchon d’une bouteille de champagne.

Rapports des juges.

Un envoyé spécial sur place dévoile pour nous les rapports écrits des juges $A$ et $B$ qui ont mesuré séparément la longueur $x$ du saut.

Juge $A$ : $x \in [32,20 ; 32,26]$.

Juge $B$ : $32,21 \le x \le 32,25$.

BOGNO est un nouvel élève de $3^{\text{ème}}$. Il se demande dans quel langage chacun des juges a fait son rapport et lequel des juges a été le plus précis ? Aide-le.

ACTIVITE D’APPRENTISSAGE

Trace une droite $(D)$ graduée de repère $(O,I)$.

1. Marque sur $(D)$ en rouge $E$ : l’ensemble des points dont l’abscisse se trouve entre $-2$ et $5$.
2. Marque sur $(D)$ en bleu $F$ : l’ensemble des points dont l’abscisse est supérieur ou égal à $3$.
3. Peux-tu traduire par une inégalité l’ensemble des points dont l’abscisse vérifie $E$ et $F$ à la fois.
4. Traduis par une inégalité l’ensemble des points dont l’abscisse vérifie $E$ ou $F$.
5. Traduis ce que chacun des juges a dit dans le langage de l’autre « dans la situation problème ».
6. Calcule $\dfrac{32,20+32,26}{2}$ et $\dfrac{32,21+32,25}{2}$. Lequel des deux juges est plus précis ?

Solution de l’activité d’apprentissage

1) et 2) voir la représentation ci-dessus.

3) L’ensemble des points dont l’abscisse vérifie $E$ et $F$ à la fois est la portion comprise entre $2$ et $5$. Donc si $x$ est un nombre de cette portion, on a $2 \le x \le 5$.

4) L’ensemble des points dont l’abscisse vérifie $E$ ou $F$ correspond à la portion allant de $(-2)$ à plus l’infini. Donc si $x$ est un nombre de cette portion, on a $x \ge -2$.

5) $x \in [32,20;32,26]$ équivaut à dire que $32,20 \le x \le 32,26$.
$32,21 \le x \le 32,25$ équivaut à dire que $x \in [32,21;32,25]$.

6) $\dfrac{32,20+32,26}{2} = 32,23$ et $\dfrac{32,21+32,25}{2} = 32,23$ ; les deux juges sont précis.

RESUME

R₁) Intervalle de $\mathbb{R}$ est l’ensemble de tous les nombres réels compris entre deux valeurs $a$ et $b$ appelées bornes de cet intervalle.

$a$ et $b$ pouvant être moins l’infini $(\leftarrow)$ ou plus l’infini $(\rightarrow)$. Un intervalle s’écrit avec les crochets.

Exemple : $[1;2]$ ; $]-1; \rightarrow[$

L’enseignant complétera le tableau avec les élèves pour les intervalles : $[a;b[$, $]a;b]$, $]a;b[$, $]\leftarrow;c]$, $]\leftarrow;c[$, $[c;\rightarrow[$ et $]c;\rightarrow[$

NB : Pour les intervalles de type $[a;b]$, $[a;b[$, $]a;b]$ et $]a;b[$, l’amplitude est égale à : $b-a$ et le centre est égal à : $\dfrac{a+b}{2}$.

$E$ et $F$ sont des intervalles de $\mathbb{R}$.

• L’intersection de $E$ et $F$ est constituée des nombres réels qui appartiennent à la fois à $E$ et à $F$. On note $E \cap F$ se lit $E$ inter $F$.
• La réunion de $E$ et $F$ est constituée des nombres réels qui appartiennent à $E$ ou à $F$. On note $E \cup F$ se lit $E$ union $F$.

Exemple : On donne $E=[-2;5]$ et $F=]0;8]$. On a $E \cap F = ]0;5]$ et $E \cup F = [-2;8]$.

EXERCICE D’APPLICATION

1. Traduis sous forme d’intervalles : $x>-2$ ; $x \le 0$ ; $-3,5 \le x < 1$
2. Traduis par une inégalité : $x \in [-1;4[$ ; $x \in ]-2;5[$
3. Représente sur une même droite des nombres réels les intervalles $I$ et $J$. Puis détermine leur intersection et leur réunion. On donne $I=[-4;1[$ et $J=]-6;0]$.