Équations et inéquations dans ℝ

INTÉRÊT

Les équations et les inéquations permettent de retrouver des valeurs inconnues dans une situation de vie donnée.

MOTIVATION

Dans la vie, nous sommes tous les jours confrontés à de nombreux problèmes qui sont souvent modélisés par des équations et des inéquations du premier degré dans ℝ, permettant leur résolution.

LEÇON 1 : Équations du premier degré dans ℝ

COMPÉTENCES À ACQUÉRIR

• Résoudre dans ℝ les équations du type ax + b = cx + d.
• Résoudre les équations du type (ax + b)(cx + d) = 0.
• Résoudre des problèmes de vie conduisant aux équations du premier degré dans ℝ.

PRÉ-REQUIS

Résous dans ℝ les équations suivantes :

a) x + 3 = 0
b) x − 2 = 5
c) 2x = 6
d) 3x + 5 = −4

Solution :

a) x + 3 = 0 équivaut à x = −3
b) x − 2 = 5 équivaut à x = 7

SITUATION PROBLÈME

Le périmètre d’un champ rectangulaire de largeur 3 m est égal à son aire augmentée de 1 m. Trouver la longueur de ce champ.

ACTIVITÉS D’APPRENTISSAGE

1) Le champ de monsieur NTOUMBA a une forme rectangulaire de longueur x et de largeur 3 m comme l’indique le schéma ci-contre :

a) Exprime le périmètre et l’aire de ce champ en fonction de x.
b) Traduis à l’aide d’une égalité dépendant de x la phrase suivante : le périmètre est égal à l’aire augmentée de 1.
c) Détermine la valeur de x puis en déduis la longueur du champ.

Réponds à la question de la situation problème.

2) En utilisant le produit nul (a × b = 0 équivaut à a = 0 ou b = 0), résous :

(2x − 6)(x + 2) = 0

Solution

1)
a) P = (x + 3) × 2 = 2x + 6     A = x × 3 = 3x
b) P = A + 1 équivaut à 2x + 6 = 3x + 1
c) 2x + 6 = 3x + 1 équivaut à 2x − 3x = 1 − 6
    équivaut à −x = −5
    équivaut à x = 5

La longueur de ce champ est de 5 m.

2) (2x − 6)(x + 2) = 0 équivaut à (2x − 6) = 0 ou (x + 2) = 0
    équivaut à 2x = 6 ou x = −2
    équivaut à x = 3 ou x = −2

RESUME

Définition

• Une équation de premier degré dans ℝ est une égalité entre deux polynômes du premier degré à une seule inconnue ou alors entre un polynôme du premier degré et 0.
• Résoudre une équation de premier degré dans ℝ revient à déterminer les valeurs que peut prendre l’inconnue et les regrouper dans un ensemble appelé ensemble solution, généralement noté S.
• Dans une équation, lorsqu’un terme change de membre (traverse l’égalité), son signe change aussi : x + a = b équivaut à x = b − a. On a alors S = {b − a}.

Exemple

Résous dans ℝ : x + 4 = 7 ; x − 3 = 10

Solution

x + 4 = 7 équivaut à x = 7 − 4 équivaut à x = 3
S = {3}

x − 3 = 10 équivaut à x = 10 + 3 équivaut à x = 13
S = {13}

Pour deux réels donnés a et b avec a ≠ 0, l’équation ax + b = 0 équivaut à x = −b / a.
On a S = {−b / a}.

Exemple

Résous dans ℝ : −x − 3 = 0 ; 4x + 5 = 2

équivaut à $x=\dfrac{3}{-1}=-3$     $S=\{-3\}$

$4x+5=2$ équivaut à $4x=2-5$
équivaut à $4x=-3$
équivaut à $x=-\dfrac{3}{4}$     $S=\left\{-\dfrac{3}{4}\right\}$

EQUATION DU TYPE $ax+b=cx+d$

Pour résoudre une telle équation,

• On regroupe d’abord les termes contenant l’inconnue d’un côté de l’égalité (de préférence du côté gauche) et les termes constants (sans inconnue) dans l’autre côté, en prenant soin de changer le signe des termes qui traversent l’égalité.
• On réduit ensuite l’équation obtenue jusqu’à obtenir une équation de la forme $Ax=B$. Ainsi, $x=\dfrac{B}{A}$ et on a $S=\left\{\dfrac{B}{A}\right\}$.

Exemple

Résous dans $\mathbb{R}$ : $2x-4=4x+7$ ; $-6x-9=x-6$

Solution

$2x-4=4x+7$ équivaut à $2x-4x=7+4$
équivaut à $-2x=11$
équivaut à $x=\dfrac{11}{-2}=-\dfrac{11}{2}$
$S=\left\{-\dfrac{11}{2}\right\}$

$-6x-9=x-6$ équivaut à $-6x-x=-6+9$
équivaut à $-7x=3$
équivaut à $x=\dfrac{3}{-7}=-\dfrac{3}{7}$
$S=\left\{-\dfrac{3}{7}\right\}$

Remarque

• Si l’on obtient $0=0$, le système admet une infinité de solutions : $S=\mathbb{R}$.
• Si l’on obtient $0=B$ avec $B\neq0$, le système n’admet pas de solution : $S=\varnothing$ (ensemble vide).

Exemple

Résous dans $\mathbb{R}$ : $\dfrac{4x-6}{2}=2x-3$ ; $-x+4=3-x$

Solution

$\dfrac{4x-6}{2}=2x-3$ équivaut à $4x-6=2(2x-3)$
équivaut à $4x-6=4x-6$
équivaut à $4x-4x=6-6$
équivaut à $0=0$     $S=\mathbb{R}$

$-x+4=3-x$ équivaut à $-x+x=3-4$
équivaut à $0=-1$
Donc $S=\varnothing$

EQUATION DE LA FORME $(ax+b)(cx+d)=0$

Pour résoudre une telle équation, on utilise le produit nul :

$(A\times B=0)$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$.

Ainsi $(ax+b)(cx+d)=0$ équivaut à $ax+b=0$ ou $cx+d=0$.

On obtient $x=-\dfrac{b}{a}$ ou $x=-\dfrac{d}{c}$.
$S=\left\{-\dfrac{b}{a}\,;\,-\dfrac{d}{c}\right\}$.

Exemple

Résous dans $\mathbb{R}$ : $(2x+1)(x-4)=0$ ; $x(-x+5)=0$

Solution

$(2x+1)(x-4)=0$ équivaut à $2x+1=0$ ou $x-4=0$
équivaut à $2x=-1$ ou $x=4$
équivaut à $x=-\dfrac{1}{2}$ ou $x=4$
$S=\left\{-\dfrac{1}{2};4\right\}$

$x(-x+5)=0$ équivaut à $x=0$ ou $-x+5=0$
équivaut à $x=0$ ou $-x=-5$
équivaut à $x=0$ ou $x=\dfrac{-5}{-1}=5$
$S=\{0;5\}$

PROBLÈMES CONDUISANT AUX ÉQUATIONS DE PREMIER DEGRÉ DANS $\mathbb{R}$

Il s’agit des problèmes dont les solutions sont celles des équations de premier degré dans $\mathbb{R}$.

Pour les résoudre, on passe généralement par des mises en équations tout en faisant toujours le choix de l’inconnue.

Exemple 1

Le double d’un nombre diminué de $5$ est égal à ce nombre augmenté de $7$. Quel est ce nombre ?

Solution

Soit $x$ ce nombre.

Le double d’un nombre $(2x)$ diminué de $5$ est égal $(=)$ à ce nombre $(x)$ augmenté de $7$.

On a donc : $2x-5=x+7$ équivaut à $2x-x=7+5$
équivaut à $x=12$.
Ce nombre est $12$.

Exemple 2

M Tamo a un jardin de forme rectangulaire dont il a oublié les dimensions. Il se rappelle que le périmètre du jardin est de $10\,\text{m}$ et que ce périmètre est égal au double de la longueur augmenté de $4$. Aide M Tamo à retrouver les dimensions de son jardin.

Solution

Soit $x$ la longueur de ce jardin. En traduisant de la même manière qu’à l’exemple 1,

On a : $10 = 2x + 4$ équivaut à $2x = 10 - 4$

équivaut à $2x = 6$

équivaut à $x = \dfrac{6}{2} = 3$. La longueur est $3\,\text{m}$.

De plus $P = (L + l)\times 2 = 2L + 2l$ équivaut à $10 = 2\times 3 + 2l$

équivaut à $10 = 6 + 2l$

équivaut à $2l = 10 - 6$

équivaut à $2l = 4$

équivaut à $l = \dfrac{4}{2} = 2$. La largeur est $2\,\text{m}$.

Exemple 3 :

Une chambre a la forme d’un carré de côté $(x-4)\,\text{m}$. La surface de cette chambre est égale au triple de son côté.

a) Détermine la valeur de $x$ sachant que $x$ est supérieure à $5\,\text{m}$.
b) Quelle est la longueur du côté de cette chambre ?

Solution

$A = c\times c = (x-4)(x-4)$.

De plus $A = 3c$ équivaut à $(x-4)(x-4) = 3(x-4)$

équivaut à $(x-4)(x-4) - 3(x-4) = 0$

équivaut à $(x-4)[(x-4)-3] = 0$

équivaut à $(x-4)(x-7) = 0$

équivaut à $x-4 = 0$ ou $x-7 = 0$

équivaut à $x = 4$ ou $x = 7$

a) comme $x$ est supérieur à $5$ alors $x = 7$

b) La longueur du côté de cette chambre est $x - 4 = 7 - 4 = 3$, soit $3\,\text{m}$.

EXERCICE D’APPLICATION

LEÇON 2 : Inéquations du premier degré dans $\mathbb{R}$

COMPÉTENCES À ACQUÉRIR :

• Résoudre une inéquation du $1^{er}$ degré à une inconnue dans $\mathbb{R}$ et donner l’ensemble solution sous la forme d’intervalles.
• Résoudre les problèmes de la vie conduisant aux inéquations du $1^{er}$ degré dans $\mathbb{R}$, les résoudre puis interpréter les résultats.

PRÉREQUIS

a) Rappels sur les intervalles : écrire sous forme d’intervalle puis représenter graphiquement les inégalités suivantes :

$x < 2$ ; $x > -3$ ; $x \le 0$ ; $x \ge 5$ ; $2 < x \le 7$

b) Résoudre les inéquations suivantes :

$4x + 7 < 0$ ; $-2x - 6 > 8$ ; $3x \ge 4$

Solution

SITUATION PROBLÈME

Le schéma ci-contre représente celui d’un champ dans lequel la partie rectangulaire est réservée à la culture du manioc et la partie triangulaire à la culture du macabo.

Déterminer les entiers naturels $x$ (en mètres) pour lesquels le périmètre du rectangle est inférieur à celui du triangle.

ACTIVITÉS D’APPRENTISSAGE

Reprendre le schéma précédent.

1. Exprimer en fonction de $x$ le périmètre $P_1$ de la partie rectangulaire.
2. Exprimer en fonction de $x$ le périmètre $P_2$ de la partie triangulaire.

3) Traduire à l’aide d’une inégalité : le périmètre de la partie rectangulaire est inférieur à celui de la partie triangulaire.

4) Déterminer toutes les valeurs possibles de $x$.

5) Répondre à la question de la situation problème.

Solution

$P_1 = (x + 2)\times 2 = 2x + 4$

$P_2 = x + 4 + 3 = x + 7$

$P_1 \le P_2 \;\Longleftrightarrow\; 2x + 4 \le x + 7$

$2x + 4 \le x + 7 \;\Longleftrightarrow\; 2x - x \le 7 - 4$

$\Longleftrightarrow\; x \le 3$

Les valeurs possibles de $x$ sont $1$, $2$ et $3$.

RÉSUMÉ

Définition

• Une inéquation de premier degré dans $\mathbb{R}$ est une inégalité entre deux polynômes du premier degré à une seule inconnue ou entre un polynôme de premier degré et $0$.
• Résoudre dans $\mathbb{R}$ une inéquation de premier degré consiste à déterminer l’ensemble de tous les nombres qui vérifient cette inéquation. Cet ensemble est appelé ensemble solution, noté $S$, et est très souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles.

Inéquations du type $ax + b < cx + d$

L’inégalité $<$ peut être remplacée par $>$, $\le$ ou $\ge$.

Pour résoudre ce type d’inéquation, on regroupe les termes en $x$ d’un côté de l’inégalité (de préférence à gauche) et les termes constants de l’autre côté.

Rappel

Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un nombre réel négatif non nul, l’inégalité change de sens.

Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un nombre réel positif non nul, l’inégalité ne change pas de sens.

Exemple

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $5x + 3 < 2x - 6$ ; $2x - 1 \ge x + 2$ ; $x + 6 \le 3x$ ; $-2x + 5 > x - 1$.

Solution

$5x + 3 < 2x - 6 \;\Longleftrightarrow\; 5x - 2x < -6 - 3$

SYSTÈME D’INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ DANS $\mathbb{R}$

Il s’agit d’un groupe de plusieurs inéquations ayant la même inconnue.

Pour résoudre un tel système, on résout séparément chaque inéquation puis on fait l’intersection de leurs différents ensembles solutions pour obtenir la solution du système.

Exemple

Résoudre dans $\mathbb{R}$, les systèmes suivants :

$ \begin{cases} 2x + 1 < x + 3 \\ 3x + 2 < 5x + 4 \end{cases} \quad ; \quad \begin{cases} x + 2 > 3 \\ x - 2 \le 4 \end{cases} $

Solution

PROBLÈMES CONDUISANT AUX INÉQUATIONS DE PREMIER DEGRÉ DANS $\mathbb{R}$

Le raisonnement reste le même que celui des problèmes conduisant aux équations de premier degré dans $\mathbb{R}$.

Exemple

Madame AYA, riche femme qu’elle est, a passé la commande des véhicules dont elle a oublié le nombre. Elle se rappelle tout de même que le double des véhicules augmenté de $5$ est strictement supérieur au triple des véhicules diminué de $1$, et que le nombre de véhicules est strictement supérieur à $4$. Aider madame AYA à retrouver le nombre de véhicules qu’elle a commandé.

Solution

Soit $x$ le nombre de véhicules que Madame AYA a commandé.

Le double des véhicules $(2x)$ augmenté $(+)$ de $5$ est strictement supérieur $(>)$ au triple des véhicules $(3x)$ diminué de $1$ c’est-à-dire $2x + 5 > 3x - 1$.

On a : $2x + 5 > 3x - 1$ équivaut à $2x - 3x > -1 - 5$

équivaut à $-x > -6$

équivaut à $x < 6$.

De plus, le nombre de véhicules est strictement supérieur à $4$ c’est-à-dire $x > 4$.

On a alors $4 < x < 6$ donc $x = 5$. Madame AYA a commandé $5$ véhicules.

EXERCICE D’APPLICATION