Équations de droites

INTÉRÊT

Les équations de droite dans la vie courante permettent de résoudre les problèmes d’alignement, d’inclinaison, …

MOTIVATION

En géométrie affine les équations de droite permettent de décrire l’ensemble des points appartenant à une droite. Dans la vie courante nous sommes appelés à utiliser les droites et en n’en construire. Ceci pour permettent d’aligner les plantes dans un jardin, d’ajuster l’inclinaison des escaliers d’un immeuble, le plan incliné d’une route, ...

LEÇON 1 : Équations cartésiennes d’une droite

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

• Définir une droite par son équation.
• Déterminer le vecteur directeur d’une droite donnée connaissant son équation cartésienne.
• Déterminer le coefficient directeur d’une droite connaissant son équation réduite.

MOTIVATION

La notion de droite va s’étoffer du cadre géométrique à une caractérisation algébrique : son équation.

PRÉREQUIS

Considérons l’équation suivante (E) : $3x - y + 2 = 0$ où $x$ et $y$ sont des inconnues.

a) Déterminer la valeur de l’inconnue pour $x = 0$ et pour $x = 3$.
R : $y = 2$ et $y = 5$

b) Déterminer la valeur de l’inconnue pour $y = -1$ et pour $y = 0$.
R : $x = -1$ et $x = -\dfrac{2}{3}$

c) On donne : $A(2 ; 1)$, $B(1 ; 5)$, $C(-2 ; 3)$, $D(-2 ; -4)$. Lesquels de ces points sont solution de (E) ? Justifier.
R : $B(1 ; 5)$ et $D(-2 ; -4)$

d) Placer dans un repère orthonormé les points dont les coordonnées sont solutions de (E).

SITUATION PROBLÈME

Abdou construit une charpente quittant d’un point A à un point B, comme l’indique la figure ci-contre.

Repérer avec exactitude les coordonnées des points A et B sont : $A(2 ; 1)$, $B(5 ; 3)$.

Sachant que dans la région la norme exige une pente inférieure ou égale à $40\,\%$, cette charpente respecte-t-elle la norme ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Le plan est muni du repère orthonormé $(O, I, J)$.

On donne : $A(2 ; 1)$, $B(5 ; 3)$, $M(x ; y)$.

a) Calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
b) Calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$.
c) $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires équivaut à :
$\,\ldots \times (x - 2) - \ldots \times (y - 1) = 0$
$\ldots x + \ldots y - \ldots = 0$
$y = \dfrac{\ldots}{\ldots}x - \dfrac{\ldots}{\ldots}$
d) Calcule la pente $p$ de la charpente construite par Abdou définie par : $p = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
e) Comparer la pente $p$ à la pente recommandée dans la région.
f) La charpente construite par Abdou respecte-elle la norme ?

Solution

a) Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$

b) Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ : $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x - 2\\y - 1\end{pmatrix}$

c) $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires équivaut à :
$(2)\times(x - 2) - (3)\times(y - 1) = 0$
$2x - 3y - 1 = 0$
$y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3}$

d) Calculons le nombre $p$ :
$p = \dfrac{3 - 1}{5 - 2} \Rightarrow p = \dfrac{2}{3}$
La pente de la charpente d’Abdou est : $p = \dfrac{2}{3}$.

e) $40\% = \dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5}$ ; Nous avons : $\dfrac{2}{3} > \dfrac{2}{5}$.

f) La charpente construite par Abdou ne respecte pas la norme.

RÉSUMÉ

Définition

On appelle équation cartésienne d’une droite toute égalité de la forme $ax + by + c = 0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a \neq 0$ ou $b \neq 0$ ($a$ et $b$ n’étant pas tous nuls).

ÉQUATION RÉDUITE D’UNE DROITE

Soit une droite $(D)$ : $ax + by + c = 0$.

Si la droite $(D)$ est non parallèle à l’axe des ordonnées $(b \neq 0)$, alors une équation cartésienne de $(D)$ peut se mettre sous la forme : $y = px + q$.

➤ La forme $y = px + q$ est la forme réduite ou équation réduite de la droite $(D)$.

➤ Un vecteur directeur de $(D)$ a pour coordonnées $(1 ; p)$.

➤ $p$ est le coefficient directeur ou pente de la droite $(D)$.

➤ $q$ est l’ordonnée à l’origine de la droite $(D)$.

Exemple

Soit la droite $(D)$ d’équation cartésienne : $4x - 2y + 10 = 0$.

➤ Son équation réduite est $y = -2x - 2$.

➤ Le coefficient directeur de la droite $(D)$ est $p = -2$.

➤ L’ordonnée à l’origine de la droite $(D)$ est $q = -3$.

VECTEUR DIRECTEUR ET COEFFICIENT DIRECTEUR

Soit une droite $(D)$ : $ax + by + c = 0$.

Un vecteur directeur $\vec{u}$ de $(D)$ a pour coordonnées $\vec{u}(-b ; a)$.

Exemple

Soit une droite $(D)$ d’équation cartésienne : $4x - 2y + 10 = 0$.

Son vecteur directeur $\vec{u}$ a pour coordonnées $\vec{u}(2 ; 4)$.

Remarques

➤ La droite $(L_1)$ : $y = 5$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(1 ; 0)$ ; son coefficient directeur est $0$ et son ordonnée à l’origine est $5$.

➤ La droite $(L_2)$ : $x = 3$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(0 ; 1)$ ; le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine n’existent pas.

Propriété

Soient $(D)$ : $y = px + q$ l’équation d’une droite, $(x_A ; y_A)$ et $(x_B ; y_B)$ deux points distincts appartenant à $(D)$ avec $x_A \neq x_B$, alors :

➤ Un vecteur directeur de la droite $(D)$ est le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix}$.

➤ Le coefficient directeur ou pente de la droite $(D)$ est le nombre $p = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

Exemple

On considère les points $A(-2 ; 3)$ et $B(3 ; -4)$. Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur $\vec{u}$ ainsi que le coefficient directeur $p$ de la droite $(AB)$.

Remarques

➤ Une droite a plusieurs vecteurs directeurs.

➤ Mais lorsqu’il existe, une droite n’a qu’un seul coefficient directeur et une seule ordonnée à l’origine.

➤ La forme $y = px + q$ est appelée équation réduite de la droite $(D)$ : $ax + by + c = 0$.

POINT APPARTENANT À UNE DROITE

Un point de coordonnées $(x_0 ; y_0)$ appartient à une droite $(D)$ : $ax + by + c = 0$ ou $(D)$ : $y = px + q$ lorsque $ax_0 + by_0 + c = 0$ ou lorsque $y_0 = px_0 + q$.

Exemple

Soit une droite $(D)$ d’équation cartésienne : $4x - 2y + 10 = 0$.

➤ Le point $P(0 ; 5)$ est un point de la droite $(D)$ car $4 \times 0 - 2 \times 5 + 10 = 0$.

➤ Le point $Q(1 ; 1)$ n’est pas un point de la droite $(D)$ car $4 \times 1 - 2 \times 1 + 10 = 12 \neq 0$.

(Montrer également en utilisant la forme réduite.)

EXERCICE D’APPLICATION

Considérons les équations de droites suivantes :

$(D_1)$ : $3x + 9 = 0$ ;
$(D_2)$ : $x - 2y + 5 = -1$ ;
$(D_3)$ : $-2y = -5$.

Déterminer pour chacune de ces droites :

a) Les coordonnées d’un vecteur directeur $\vec{u}$.
b) Le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine respectives s’ils existent.
c) L’équation réduite.
d) Calculer $a$ et $b$ pour que les points $A(a ; 1)$ et $B(0 ; b)$ appartiennent à la droite.

LEÇON 2 : Écriture d’une équation cartésienne d’une droite

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

➤ Écrire une équation cartésienne d’une droite passant par deux points.

➤ Écrire une équation cartésienne d’une droite définie par un point et un vecteur directeur.

➤ Écrire une équation cartésienne d’une droite définie par un point et le coefficient directeur.

➤ Écrire une équation cartésienne d’une droite définie par un point et une droite qui lui est parallèle.

➤ Écrire une équation cartésienne d’une droite définie par un point et une droite qui lui est perpendiculaire.

MOTIVATION

Les problèmes conduisant à un système d’équations sont modélisés grâce à la connaissance que l’on a des équations de droites.

PRÉREQUIS

Le plan est muni du repère orthonormé $(O, I, J)$.

On donne : $A(1 ; 2)$, $B(0 ; 2)$, $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$.

a) Calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
rep : $\overrightarrow{AB}(-1 ; 0)$

b) Donne la condition pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux.
rep : $xx' + yy' = 0$

c) Donne la condition pour que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.
rep : $xy' - yx' = 0$

SITUATION PROBLÈME

Kenfack, Fatimatou et Atangana sont trois élèves qui fréquentent respectivement dans les établissements $K$, $F$ et $A$. Repérés sur une carte, les coordonnées de leurs établissements sont :

$K(2 ; 2)$, $F(4 ; -2)$, $A(3 ; 0)$. Ils souhaitent connaître l’ensemble de tous les établissements alignés ensemble avec leurs trois établissements. Aide ces élèves.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Soient $A(3 ; 0)$, $F(4 ; -2)$ et $K(2 ; 2)$ trois points du plan. On définit un point $M(x ; y)$ quelconque du plan.

a) Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KF}$.
b) Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$.
c) Donner une relation entre $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{KF}$ soient colinéaires.
d) Comment appelle-t-on cette égalité obtenue ?
e) Utiliser cette équation pour exprimer $y$ en fonction de $x$.
f) Comment la nomme-t-on la nouvelle égalité trouvée ?
g) En déduire l’ensemble de tous les établissements alignés avec ceux de ces trois élèves.

Solution

a) Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KF}$ : $\overrightarrow{KF}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$

b) Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ : $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x - 3\\y - 0\end{pmatrix}$

c) Relation entre $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{KF}$ soient colinéaires.

d) $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{KF}$ sont colinéaires si et seulement si : $(-4)(x - 3) - (2)(y - 0) = 0$.

$-4x - 2y + 12 = 0$

e) L’égalité obtenue est appelée équation cartésienne de la droite $(KF)$.

f) Exprimer $y$ en fonction de $x$ : $y = \dfrac{-4}{2}x + \dfrac{12}{2} = -2x + 6$

g) La nouvelle égalité trouvée est appelée forme réduite ou équation réduite de la droite $(KF)$.

h) L’ensemble de tous les établissements alignés ensemble avec leurs trois établissements est la droite d’équation : $-4x - 2y + 12 = 0$ ou $y = -2x + 6$.

RÉSUMÉ

ÉQUATION D’UNE DROITE PASSANT PAR DEUX POINTS

Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ passant par les points $A$ et $B$, on procède comme suit :

➤ On choisit un point $M(x ; y)$ quelconque du plan ;
➤ On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ ;
➤ On cherche une relation entre $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ soient colinéaires ;
➤ L’égalité obtenue est l’équation cartésienne de la droite $(AB)$ demandée.

Exemple

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Soient $A(2 ; 3)$ et $B(4 ; -1)$ deux points du plan. Déterminons une équation de la droite $(AB)$.

Solution

Soit $M(x ; y)$ un point du plan.

$M$ appartient à $(AB)$ équivaut à $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

Or $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x - 2\\y - 3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$.

$M \in (AB)$, alors : $(-4)(x - 2) - 2(y - 3) = 0$

$-4x + 8 - 2y + 6 = 0$
$-4x - 2y + 14 = 0$

D’où $(AB)$ : $-4x - 2y + 14 = 0$ est l’équation cartésienne de la droite $(AB)$.

ÉQUATION D’UNE DROITE PASSANT PAR UN POINT ET DE VECTEUR DIRECTEUR DONNÉ

Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $C$ et de vecteur directeur $\vec{u}$, on procède comme suit :

➤ On choisit un point $M(x ; y)$ quelconque du plan ;
➤ On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CM}$ ;
➤ On cherche une relation entre $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{CM}$ et $\vec{u}$ soient colinéaires ;
➤ L’égalité obtenue est l’équation cartésienne de la droite $(D)$ demandée.

Exemple

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Déterminer l’équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $C(2 ; -4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(4 ; 3)$.

Solution

Soit $M(x ; y)$ un point du plan.

$M$ appartient à $(D)$ équivaut à $\overrightarrow{CM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.

Or $\overrightarrow{CM}\begin{pmatrix}x - 2\\y + 4\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$.

$M \in (D)$, alors : $3(x - 2) - 4(y + 4) = 0$

$3x - 6 - 4y - 12 = 0$
$3x - 4y + 6 = 0$

D’où $(D)$ : $3x - 4y + 6 = 0$ est l’équation cartésienne de la droite $(D)$.

ÉQUATION D’UNE DROITE PASSANT PAR UN POINT ET DE COEFFICIENT DIRECTEUR DONNÉ

Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $B$ et de coefficient directeur $\dfrac{2}{3}$, on procède comme suit :

➤ On écrit une équation de la droite $(D)$ sous la forme : $y = px + q$ ;
➤ On remplace le coefficient directeur $p$ par sa valeur $\dfrac{2}{3}$ ;
➤ On cherche alors $q$ en résolvant l’équation : $y_B = \dfrac{2}{3}x_B + q$ ;
➤ On remplace $p$ et $q$ par leurs valeurs dans : $y = px + q$ ;
➤ L’égalité obtenue est l’équation cartésienne de la droite $(D)$ demandée.

Exemple

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Déterminons l’équation de la droite $(D)$ passant par $B(1 ; 5)$ et de coefficient directeur $\dfrac{2}{3}$.

Solution

La droite $(D)$ a une équation de la forme : $y = px + q$.

Comme le coefficient directeur est $p = \dfrac{2}{3}$, ainsi $(D) : y = \dfrac{2}{3}x + q$.

Cherchons $q$ ; $B \in (D)$, alors : $y_B = \dfrac{2}{3}x_B + q$

$5 = \dfrac{2}{3} \times 1 + q$

$q = \dfrac{13}{3}$

D’où $(D)$ : $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{13}{3}$ ou $(D)$ : $2x - 3y + 13 = 0$ est l’équation cartésienne de la droite $(D)$.

ÉQUATION D’UNE DROITE PASSANT PAR UN POINT ET PARALLÈLE À UNE DROITE DONNÉE

Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $(L_1)$ passant par $E$ et parallèle à la droite $(D)$, on procède comme suit :

➤ On choisit un point $M(x ; y)$ quelconque du plan ;
➤ On détermine un vecteur directeur $\vec{u}$ de $(D)$ ;
➤ On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EM}$ ;
➤ On cherche une relation entre $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{EM}$ et $\vec{u}$ soient colinéaires ;
➤ L’égalité obtenue est l’équation cartésienne de la droite $(L_1)$ demandée.

Exemple

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Déterminons une équation cartésienne de la droite $(L_1)$ passant par $E(4 ; -2)$ et parallèle à la droite $(D)$ : $3x - 4y + 6 = 0$.

Solution

Soit $M(x ; y)$ un point du plan.

La droite $(D)$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(4 ; 3)$.

$M$ appartient à $(L_1)$ équivaut à $\overrightarrow{EM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.

Or $\overrightarrow{EM}\begin{pmatrix}x - 4\\y + 2\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$.

$M \in (L_1)$, alors : $3(x - 4) - 4(y + 2) = 0$

$3x - 12 - 4y - 8 = 0$
$3x - 4y - 20 = 0$

D’où $(L_1)$ : $3x - 4y - 20 = 0$ est l’équation cartésienne de la droite $(L_1)$.

ÉQUATION D’UNE DROITE PASSANT PAR UN POINT ET PERPENDICULAIRE À UNE DROITE DONNÉE

Pour déterminer une équation cartésienne de la droite $(L_2)$ passant par $G$ et perpendiculaire à la droite $(D)$, on procède comme suit :

➤ On choisit un point $M(x ; y)$ quelconque du plan ;
➤ On détermine un vecteur directeur $\vec{u}$ de $(D)$ ;
➤ On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{GM}$ ;
➤ On cherche une relation entre $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{GM}$ et $\vec{u}$ soient orthogonaux ;
➤ L’égalité obtenue est l’équation cartésienne de la droite $(L_2)$ demandée.

Exemple

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Déterminons une équation de la droite $(L_2)$ passant par $G(3 ; -1)$ et perpendiculaire à la droite $(D)$ : $2x - 3y + 13 = 0$.

Solution

Soit $M(x ; y)$ un point du plan.

La droite $(D)$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(3 ; 2)$.

$M$ appartient à $(L_2)$ équivaut à $\overrightarrow{GM}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux.

Or $\overrightarrow{GM}\begin{pmatrix}x - 3\\y + 1\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$.

$M \in (L_2)$, alors : $3(x - 3) + 2(y + 1) = 0$

$3x - 9 + 2y + 2 = 0$
$3x + 2y - 7 = 0$

D’où $(L_2)$ : $3x + 2y - 7 = 0$ est l’équation cartésienne de la droite $(L_2)$.

EXERCICES D’APPLICATION

1) On donne les points $A(-3 ; 2)$, $B(1 ; 5)$ et $C(2 ; -4)$.

a) Écris l’équation cartésienne de la droite $(AB)$ puis celle de $(AC)$.
b) En déduire l’expression de la forme réduite associée à chacune de ces droites.

2) Écris l’équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A(3 ; -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3 ; 2)$.

3) Écris l’équation de la droite $(D)$ passant par le point $C(2 ; -4)$ et de coefficient directeur $3$.

4) Écris l’équation de la droite $(D')$ passant par le point $F(2 ; 1)$ et parallèle à la droite $(D)$ : $-4x - y + 5 = 0$.

5) Écris l’équation de la droite $(D')$ passant par le point $H(2 ; 2)$ et perpendiculaire à la droite $(D)$ : $3x - 5y + 5 = 0$.

Devoir

Détermine une équation cartésienne des droites $(D)$ et $(L)$ représentées ci-dessous.

LEÇON 3 : Représentation graphique d’une droite

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

➤ Tracer une droite connaissant son équation cartésienne.

➤ Tracer une droite passant par un point et un vecteur directeur donné.

➤ Tracer une droite passant par un point et le coefficient directeur donné.

MOTIVATION

Les problèmes conduisant à un système d’équations sont modélisés grâce à la connaissance qu’on a des équations de droites.

PRÉREQUIS

Le plan est muni du repère orthonormé $(O, I, J)$.

On donne : $A(1 ; -2)$, $B(0 ; 1)$, $\vec{u}(-2 ; 6)$ et $\vec{v}(3 ; 1)$.

a) Représente les points $A$ et $B$ puis tracer la droite passant par ces deux points.

b) Exprime $\vec{u}$ en fonction de $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OJ}$.
rep : $\vec{u} = -2\overrightarrow{OI} + 6\overrightarrow{OJ}$

c) Exprime $\vec{v}$ en fonction de $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OJ}$.
rep : $\vec{v} = 3\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ}$

d) Représente $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

SITUATION PROBLÈME

Kenfack, Fatimatou et Atangana sont trois élèves qui fréquentent respectivement dans les établissements $K$, $F$ et $A$. Repérés sur une carte les coordonnées de leurs établissements sont : $K(2 ; 2)$, $F(4 ; -2)$, $A(3 ; 0)$. Ils souhaitent connaitre sans faire de calculs si leurs trois établissements sont alignés. Aide ces élèves.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Soient $A(3 ; 0)$ et $K(2 ; 2)$ deux points du plan.

a) Représente les points $A$ et $K$ et trace la droite passant par ces deux points.
b) Représente le point $F(4 ; -2)$.

c- Que peux-tu dire des établissements de ces trois élèves représentés par les points $A$, $K$ et $F$ ?

Solution

• Les points $A$, $K$ et $F$ sont alignés donc ces trois établissements sont alignés.

RÉSUMÉ

CAS D’UNE DROITE D’ÉQUATION CARTÉSIENNE CONNUE

Pour construire dans un repère une droite d’équation cartésienne donnée, on procède comme suit :

➤ On trace un tableau où seront déterminés les couples de coordonnées de deux points distincts.

➤ On les place dans le repère, puis on trace la droite qui passe par ces deux points.

Exemple

Construisons la droite $(D)$ : $x - 2y + 3 = 0$.

Solution

Si $x = -1$ alors

$(-1) - 2y + 3 = 0$
$\Leftrightarrow y = \dfrac{-2}{-2}$
$y$ prendra la valeur $1$.

Si $y = 0$ alors

$x - 2(0) + 3 = 0$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{-3}{1}$
$x$ prendra la valeur $-3$.

On a le tableau suivant :

CAS D’UNE DROITE CONNAISSANT UN DE CES POINTS ET SON VECTEUR DIRECTEUR

Pour construire dans un repère orthonormé une droite $(D)$ de vecteur directeur $\vec{u}$ passant par un point $A$, on procède comme suit :

➤ On construit le vecteur $\vec{u}$ dans ce repère ;
➤ On place le point $A$ dans le même repère ;
➤ On place le point $M(x ; y)$ tel que $\overrightarrow{AM} = \vec{u}$ ;
➤ On trace la droite $(AM)$ : c’est la droite $(D)$ demandée.

Exemple

Construisons la droite $(L)$ passant par un point $A(3 ; 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-1 ; 2)$.

Solution

Soit $M(x ; y)$ un point du plan.

$M$ appartient à $(L)$ équivaut à $\overrightarrow{AM} = \vec{u}$.

Or $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x - 3\\y - 1\end{pmatrix}$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{AM} = \vec{u}$, alors :

$\begin{cases} x - 3 = -1 \\ y - 1 = 2 \end{cases}$

$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$

CAS D’UNE DROITE CONNAISSANT UN DE CES POINTS ET SON COEFFICIENT DIRECTEUR

Pour construire dans un repère orthonormé une droite $(D)$ passant par un point $E$ et de coefficient directeur $\dfrac{2}{3}$, on procède comme suit :

➤ On place le point $E(-1 ; 2)$ dans le même repère ;
➤ À partir du point $E$, on décale de $3$ unités vers la droite et on monte de $2$ unités ;
➤ On obtient un point $E'(2 ; 4)$ ;
➤ On trace la droite $(EE')$ : c’est la droite $(D)$ demandée.

Exemple

Construisons la droite $(D')$ passant par le point $E(-1 ; 2)$ et ayant pour coefficient directeur $\dfrac{2}{3}$.

Solution

Remarque

Dans un repère du plan,

➤ Toute droite dont l’équation cartésienne est de la forme $x = a$ est parallèle à l’axe des ordonnées.

➤ Toute droite dont l’équation cartésienne est de la forme $y = b$ est parallèle à l’axe des abscisses.

EXERCICE D’APPLICATION

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Trace dans un même repère les droites :

a) $(L)$ passant par $C(-2 ; 2)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{BE}(3 ; 1)$.
b) $(D)$ : $3x - y + 2 = 0$.
c) $(L')$ : $-y + 2 = 0$.
d) $(D')$ : $3x + 6 = 0$.

Exercice résolu

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Soient $A(0 ; 3)$ et $B(-2 ; -1)$ deux points du plan.

a- Représente les points $A$ et $B$ et trace la droite passant par ces deux points.

b- Représente le point $C(-1 ; 1)$. Que peux-tu dire des points $A$, $B$ et $C$ ?

c- Représente le point $D(3 ; -2)$. Que peux-tu dire des points $A$, $B$ et $D$ ?

Solution

• Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

• Les points $A$, $B$ et $D$ ne sont pas alignés.

Devoirs

1) Construis la droite $(D)$ : $x + 2y - 2 = 0$.

2) Construis la droite $(D_1)$ passant par $R(-2 ; 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(4 ; -2)$.

3) Construis la droite $(D_2)$ passant par $T(-4 ; 2)$ et de coefficient directeur $-3$.

LEÇON 4 : Position relative de deux droites

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

➤ Justifier que deux droites sont parallèles.

➤ Justifier que deux droites sont perpendiculaires.

MOTIVATION

En menuiserie et dans le génie civil en général, nous faisons des meubles et des ponts qui font appel aux parallélismes et à l’orthogonalité de deux droites.

PRÉREQUIS

1) Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$, représente les droites : $(D_1) : 2x - y + 1 = 0$ ; $(D_2) : 2x - y - 3 = 0$ et $(D_3) : -x - 2y + 5 = 0$.

2) Que peux-tu dire des droites $(D_1)$ et $(D_2)$ ? rep : $(D_1)$ et $(D_2)$ sont parallèles.

3) Que peux-tu dire des droites $(D_1)$ et $(D_3)$ ? rep : $(D_1)$ et $(D_3)$ sont perpendiculaires.

SITUATION PROBLÈME

Après avoir fini de manger ses beignets le matin, votre voisin qui fait la même classe que vous mais ne comprend pas bien les mathématiques voit sur l’emballage l’exercice suivant et vous demande ton aide.

Considérons les droites suivantes : $(D_1) : x - 2y + 3 = 0$ ; $(D_2) : 2x + y + 5 = 0$ et $(D_3) : -x + 2y + 12 = 0$. Comment sont disposées ces droites dans un repère orthonormé ? Aide ton voisin à répondre au problème posé.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

On considère les droites : $(D_1) : x - 2y + 3 = 0$ ; $(D_2) : 2x + y + 5 = 0$ et $(D_3) : -x + 2y + 12 = 0$.

1) Détermine $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$ et $\vec{u_3}$, les vecteurs directeurs respectifs de $(D_1)$, $(D_2)$ et $(D_3)$.

2) Que peux-tu dire de $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ?

3) Que peux-tu dire de $\vec{u_2}$ et $\vec{u_3}$ ?

4) Que peux-tu dire de $\vec{u_1}$ et $\vec{u_3}$ ?

5) En déduire comment sont disposées ces droites dans un repère orthonormé.

Solution

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

1) $\vec{u_1}(2 ; 1)$ ; $\vec{u_2}(-1 ; 2)$ et $\vec{u_3}(-2 ; -1)$.

2) $\vec{u_1}(2 ; 1)$ et $\vec{u_2}(-1 ; 2)$, on a :
$2 \times 2 - 1 \times (-1) = 4 + 1 = 5 \neq 0$.
Donc les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires.

$2 \times (-1) + 1 \times 2 = -2 + 2 = 0$.
Donc les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont orthogonaux.

3) $\vec{u_2}(-1 ; 2)$ et $\vec{u_3}(-2 ; -1)$, on a :
$(-1) \times (-1) - 2 \times (-2) = 1 + 4 = 5 \neq 0$.
Donc les vecteurs $\vec{u_2}$ et $\vec{u_3}$ ne sont pas colinéaires.

$(-1) \times (-2) + 2 \times (-1) = 2 - 2 = 0$.
Donc les vecteurs $\vec{u_2}$ et $\vec{u_3}$ sont orthogonaux.

4) $\vec{u_1}(2 ; 1)$ et $\vec{u_3}(-2 ; -1)$, on a :
$2 \times (-1) - 1 \times (-2) = -2 + 2 = 0$.
Donc les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_3}$ sont colinéaires.

5) Les droites : $(D_1)$ et $(D_3)$ sont parallèles ; $(D_1)$ et $(D_2)$ sont perpendiculaires ; $(D_2)$ et $(D_3)$ sont perpendiculaires.

RÉSUMÉ

Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{u'}$.

➤ $(D)$ et $(D')$ sont parallèles équivaut à $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont colinéaires.

Dans un repère orthonormé,

➤ $(D)$ et $(D')$ sont perpendiculaires équivaut à $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont orthogonaux.

Exemples

Dans un repère orthonormé,

La droite $(D)$ : $-3x + 2y + 10 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(-2 ; -3)$ et la droite $(D')$ : $3x - 2y - 2 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u'}(2 ; 3)$.

$(-2)\times 3 - 2\times(-3) = -6 + 6 = 0$ ; donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont colinéaires. Par suite, les droites $(D)$ et $(D')$ sont parallèles.

➤ La droite $(L)$ : $x + 3y + 2 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(-3 ; 1)$ et la droite $(L')$ : $3x - y + 1 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u'}(1 ; 3)$ et de plus

$(-3)\times 1 + 1\times 3 = -3 + 3 = 0$ ; donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont orthogonaux. Par suite, les droites $(L)$ et $(L')$ sont perpendiculaires.

Propriétés

Soient deux droites $(D)$ : $y = ax + b$ et $(D')$ : $y = a'x + b'$ où $a$ et $a'$ sont les coefficients directeurs respectifs de $(D)$ et $(D')$.

➤ $(D)$ et $(D')$ sont parallèles équivaut à $a = a'$.

Dans un repère orthonormé,

➤ $(D)$ et $(D')$ sont perpendiculaires équivaut à $a \times a' = -1$.

Exemples

Dans un repère orthonormé,

➤ Les droites $(D)$ : $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$ et $(D')$ : $y = \dfrac{1}{3}x + 3$ ont le même coefficient directeur $\dfrac{1}{3}$ ; donc elles sont parallèles.

➤ Les droites $(L)$ : $y = 2x - 2$ et $(L')$ : $y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$ ont respectivement pour coefficient directeur $2$ et $-\dfrac{1}{2}$ ; on a : $2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$ ; donc elles sont perpendiculaires.

EXERCICE D’APPLICATION

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

Dire en justifiant dans chacun des cas suivants si les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sont parallèles ou perpendiculaires.

a) $(D_1)$ : $2x - 3y + 1 = 0$ et $(D_2)$ : $-4x + 6y - 3 = 0$
b) $(D_1)$ : $x - 3y + 2 = 0$ et $(D_2)$ : $3x + y - 3 = 0$
c) $(D_1)$ : $y = 2x - 3$ et $(D_2)$ : $8y = 2x + 1$
d) $(D_1)$ : $y = 3x - 1$ et $(D_2)$ : $y = -\dfrac{1}{3}x + 2$
e) $(D_1)$ : $3x - y + 2 = 0$ et $(D_2)$ : $y = 2x + 2$