INTERET
Les vecteurs sont grandement utilisés ; ils permettent de modéliser des grandeurs comme une force, une vitesse, une accélération ou la quantité de mouvement.
MOTIVATION
Pour résoudre de nombreux problèmes de la vie, on utilise les vecteurs : ils nous permettent de reconnaitre des formes planes dans un décor, déterminer les mesures et positions et aussi déployer des raisonnements mathématiques afin de résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie en aviation par exemple.
LEÇON 1 : Calcul des coordonnées d’un point
MOTIVATION
Déployer des raisonnements mathématiques, résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie et communiquer des informations.
OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES
- Calcul des coordonnées d'un vecteur connaissant les coordonnées des points A et B ;
- Calcul des coordonnées d’un des points A et B connaissant les coordonnées de l'autre point et ceux du vecteur ;
- Calculer les coordonnées du vecteur somme et vecteur produit.
PRÉREQUIS
1- Place les points A (2 ; -1) ; B (4 ; 2) dans un repère orthonormé, puis calculer xB − xA et yB − yA.
xB − xA = 4 − 2 = 2 et yB − yA = 2 − (−1) = 2 + 1 = 3
2- Définir vecteurs égaux et opposés vecteurs.
Deux vecteurs sont dits égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Deux vecteurs sont dits opposés s’ils ont la même direction, la même norme mais de sens contraire.
SITUATION PROBLÈME
Sur une carte d’une ville, le maire identifie les trois points suivants : lycée, marché et sa maison. Suite à la demande des habitants, il désire placer un salon de coiffure (C) aligné avec la maison et le lycée et situé à égale distance. De même entre le lycée et le marché, le maire voudrait placer un poste de police (P) toujours aligné et à égale distance.
Préciser par les positions le lieu précis où le salon de coiffure et le poste de police doivent être placés en précisant leurs coordonnées géographiques.
ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE
Dans un repère orthonormé (O, I, J).
1- Place les points A (2 ; -1) ; B (4 ; 2) et C (4 ; -1)
2- On se propose d’aller du point A au point B en ne faisant au maximum que deux déplacements horizontal et vertical.
a) Cite un chemin que tu peux emprunter.
b) Que peux-tu dire des vecteurs AC et OI ? exprime AC en fonction de OI.
c) Que peux-tu dire des vecteurs CB et OJ ? exprime CB en fonction de OJ.
d) Exprime AB en fonction de AC et CB, puis en fonction de OI et OJ.
3- Soit E milieu de segment [AB], exprime le vecteur OE en fonction des vecteurs OA et OB.
4- Préciser par les positions le lieu précis où le salon de coiffure et le poste de police doivent être placés en donnant leurs coordonnées géographiques.
SOLUTION
2 a) A → C → B
b) Les vecteurs AC et OI sont colinéaires et on a : AC = 2 OI
c) Les vecteurs CB et OJ sont colinéaires et on a : CB = 3 OJ
d) AB = AC + CB = 2 OI + 3 OJ
3) OE = 1/2 OA + 1/2 OB
4) On placera les points C et P tels que P soit à égale distance du marché et du lycée (soit au milieu) puis C soit à égale distance de la maison et du lycée (soit au milieu). On aura alors P (8 ; 4,5) et C (4 ; 4).
RESUME
➤ Notion de vecteurs
Le vecteur AB est le vecteur qui a pour origine le point A, pour extrémité le point B et est caractérisé par :
- Direction : celle de la droite (AB).
- Sens : de A vers B.
- Longueur : la longueur du segment [AB].
Le vecteur AA ou BB est le vecteur nul, on note 0⃗.
➤ Deux vecteurs sont opposés s’ils ont la même direction, même longueur, mais de sens différents ; le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB, on le note encore −AB.
➤ Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens, et la même longueur.
➤ On appelle repère du plan, tout triplet (O ; I ; J) de points non alignés. Le point O est appelé origine du repère ; la droite (OI) axe des abscisses et la droite (OJ) axe des ordonnées.
➤ Dans un repère (O ; I ; J), pour tout point M, il existe un couple unique (x, y) de nombres réels tel que OM = x OI + y OJ. Le couple (x, y) est appelé couple de coordonnées de M dans le repère (O ; I ; J) et on note M (x ; y) ou M (x / y). x est l’abscisse de M et y est l’ordonnée de M.
➤ Dans un repère (O ; I ; J), pour tout vecteur AB, il existe un couple unique (x ; y) de réels appelé coordonnées du vecteur AB tel que AB = x OI + y OJ.
On note AB (x ; y) ou AB (x / y). x est l’abscisse de AB et y est l’ordonnée de AB.
➤ Calcul des coordonnées d’un vecteur connaissant ceux de ses extrémités
Soit un vecteur AB défini par les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB).
L’abscisse du vecteur AB correspond à la différence des abscisses des points B et A.
L’ordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à la différence des ordonnées des points B et A. On dira donc que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur de coordonnées $(x_B - x_A \, ; \, y_B - y_A)$.
On notera $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A \, ; \, y_B - y_A)$ ou $\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.
Le point I milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \, ; \, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.
Exemple
Soient $A(2 \, ; \, 5)$ et $B(8 \, ; \, 3)$ deux points du plan dans un repère orthonormé.
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 2 \\ 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}$.
➤ Calcul des coordonnées d’un vecteur connaissant les coordonnées d’un point et celui du vecteur
Deux vecteurs sont dits égaux ou identiques lorsque leurs coordonnées sont les mêmes.
Si les points $A(x_A \, ; \, y_A)$, $B(x_B \, ; \, y_B)$, $C(x_C \, ; \, y_C)$ et $D(x_D \, ; \, y_D)$ permettent de définir deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si :
$\begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases}$
➤ Calcul des coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d’un vecteur par un réel
Le plan étant muni d’un repère $(O \, ; \, I \, ; \, J)$. Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan et $k$ un nombre réel.
Si $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}$ pour coordonnées $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, alors le vecteur somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}$.
Si $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, alors le vecteur $k\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$.
Exemple
Le plan étant muni d’un repère $(O \, ; \, I \, ; \, J)$. On donne $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $k = -2$.
Calculons les coordonnées de :
a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$.
b) $k\overrightarrow{AB} = -2 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$.
c) $\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + (-3\overrightarrow{CD}) = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -18 \\ -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 \\ -11 \end{pmatrix}$.
EXERCICE D’APPLICATION
Le plan étant muni d’un repère $(O \, ; \, I \, ; \, J)$.
Soient $A(2 \, ; \, 3)$, $B(4 \, ; \, 9)$, $C(3 \, ; \, 1)$ et $D(2 \, ; \, -3)$.
1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
2) Calculer les coordonnées des vecteurs sommes : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC}$.
3) En supposant que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE}$, déterminer les coordonnées du point $E$.
LEÇON 2 : Vecteurs colinéaires et orthogonaux
MOTIVATION
Déployer des raisonnements mathématiques, résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie et communiquer des informations.
OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES
- Justifier par leurs coordonnées le fait que deux vecteurs donnés soient colinéaires ou orthogonaux.
- Montrer le parallélisme ou l’orthogonalité des droites.
- Montrer l’alignement des points et déterminer les coordonnées d’un point sachant la relation de colinéarité et d’orthogonalité.
PRÉREQUIS
Donner les définitions de vecteurs colinéaires et orthogonaux.
SITUATION PROBLÈME
Sur la figure ci-dessous, l’on a représenté sur le graphique des points précis de la ville.
Le problème ici est de savoir si les routes reliant le marché à l’hôtel, puis l’hôpital au lycée, gardent la même direction.
ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE
Le plan étant muni d’un repère $(O ; I ; J)$.
Soient $A(-2 ; 3)$, $B(-2 ; 0)$, $C(2 ; 0)$ et $D(6 ; -6)$ quatre points du plan.
1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BD}$.
2) Donner une relation entre les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$.
3) Que peux-tu dire des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ d’une part et des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ d’autre part.
4) Les routes reliant (marché–hôtel) et (hôpital–lycée) ont-elles la même direction ?
SOLUTION
1) $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A) = (-2 + 2 ; 0 - 3) = (0 ; -3)$
$\overrightarrow{AC}(x_C - x_A ; y_C - y_A) = (2 + 2 ; 0 - 3) = (4 ; -3)$
$\overrightarrow{BC}(x_C - x_B ; y_C - y_B) = (2 + 2 ; 0 - 0) = (4 ; 0)$
$\overrightarrow{BD}(x_D - x_B ; y_D - y_B) = (6 + 2 ; -6 - 0) = (8 ; -6)$
2) $\overrightarrow{BD} = 2 \overrightarrow{AC}$
3) Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont colinéaires et les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux.
4) Déterminons les coordonnées des points $M$ (marché), $H$ (hôtel), $L$ (lycée) et $P$ (hôpital) puis vérifions que les vecteurs $\overrightarrow{MH}$ et $\overrightarrow{PL}$ ne sont pas colinéaires.
$M(2 ; 3)$ ; $P(7 ; 1)$ ; $H(5 ; 7)$ et $L(11 ; 5)$.
$\overrightarrow{MP}(x_B - x_A ; y_B - y_A) = (7 - 2 ; 1 - 3) = (5 ; -2)$
$\overrightarrow{MH}(x_C - x_A ; y_C - y_A) = (5 - 2 ; 7 - 3) = (3 ; 4)$
$\overrightarrow{PH}(x_C - x_B ; y_C - y_B) = (5 - 7 ; 7 - 1) = (-2 ; 6)$
$\overrightarrow{PL}(x_D - x_B ; y_D - y_B) = (11 - 7 ; 5 - 1) = (4 ; 4)$
On constate qu’il n’existe pas de relation pouvant lier $\overrightarrow{MH}$ et $\overrightarrow{PL}$. Donc les vecteurs $\overrightarrow{MH}$ et $\overrightarrow{PL}$ ne sont pas colinéaires.
Ainsi, les routes n’ont pas la même direction.
RÉSUMÉ
VECTEURS COLINÉAIRES
- Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires lorsqu’ils ont la même direction ou encore lorsqu’il existe un réel $k$ non nul tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.
- Le plan étant muni d’un repère $(O ; I ; J)$. Soit $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ deux vecteurs du plan. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si et seulement si $xy' - x'y = 0$.
NB : Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres vecteurs.
Exemple :
Les vecteurs $\vec{u}(2 ; -3)$ et $\vec{v}(4 ; -6)$ sont colinéaires car
$\vec{v} = 2\vec{u}$ ou encore parce que
$2(-6) - 4(-3) = -12 + 12 = 0$.
Remarques
1. On peut utiliser la colinéarité pour montrer que des droites sont parallèles en utilisant la propriété suivante : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires si et seulement si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
2. On peut utiliser la colinéarité pour montrer que les points sont alignés en utilisant la propriété suivante : $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
VECTEURS ORTHOGONAUX
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits orthogonaux lorsque leurs supports sont des droites perpendiculaires.
Le plan étant muni d’un repère $(O ; I ; J)$. Soit $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ deux vecteurs du plan.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits orthogonaux si et seulement si $xx' + yy' = 0$.
Remarques :
On peut utiliser l’orthogonalité pour montrer que des droites sont perpendiculaires en utilisant la propriété suivante :
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux si et seulement si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
EXERCICE D’APPLICATION
Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O, I, J)$.
On considère les vecteurs $\vec{u}(1 ; 1)$ et $\vec{v}(2 ; m)$ où $m$ est un réel.
Comment faut-il choisir $m$ pour que les droites dirigées respectivement par $\vec{u}$ et par $\vec{v}$ soient :
a) perpendiculaires
b) parallèles ?
LEÇON 3 : Norme d’un vecteur et distance entre deux points
MOTIVATION
Déployer des raisonnements mathématiques, résoudre des problèmes relatifs à des situations de vie et communiquer des informations.
OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES
Calculer la distance entre deux points donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé.
PRÉREQUIS
On donne deux points $A(2 ; 3)$ et $B(5 ; 6)$ du plan ; déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$
SITUATION PROBLÈME
Deux villes sur une carte graphique dans un repère sont représentées par les points A et B comme sur le graphique ci-dessus. L’unité étant le km, déterminer la distance entre ces deux villes.
ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE
On donne deux points $A(-3 ; 3)$, $B(5 ; 1)$, $C(-3 ; 1)$ du plan.
- Calculer la quantité $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
-
a) Placer les points A, B et C dans le repère $(O ; I ; J)$ et donner la nature
du triangle $ABC$.
b) On donne $BC = 8$ et $AC = 2$. Calculer $AB$.
c) Que constates-tu ?
SOLUTION
1- $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}$.
2- a) $ABC$ est un triangle rectangle en $C$.
b) $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}$.
c) $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$.
RÉSUMÉ
NORME D’UN VECTEUR
Le plan étant muni d’un repère $(O ; I ; J)$, on considère le vecteur $\vec{u}$ qui a pour coordonnées $(x ; y)$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$. La norme du vecteur $\vec{u}$, encore appelée longueur du vecteur $\vec{u}$ et notée $\|\vec{u}\|$, est égale à $\sqrt{x^2 + y^2}$.
DISTANCE ENTRE DEUX POINTS DU PLAN
Si les coordonnées des points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ sont connues, alors la distance $AB$ entre ces deux points est donnée par la relation :
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
EXERCICE D’APPLICATION
Dans un plan muni d’un repère orthonormé $(O ; I ; J)$, l’unité étant le centimètre. On donne les points $A(2 ; 3)$, $B(5 ; 6)$, $C(7 ; 4)$ et $D(4 ; 1)$ et $\vec{u} = (2 ; 1)$.
- Placer les points A, B, C et D.
- Calculer la norme du vecteur $\vec{u}$.
- Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$.
- Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BD$.
- Déterminer les coordonnées du point $I$ milieu du segment $[AB]$.
