INTERET
Les vecteurs sont grandement utilisés ; ils permettent de modéliser des grandeurs comme une
force, une vitesse, une accélération ou la quantité de mouvement.
MOTIVATION
Pour résoudre de nombreux problèmes de la vie, on utilise les vecteurs : ils nous permettent
de reconnaitre des formes planes dans un décor, déterminer les mesures et positions et aussi
déployer des raisonnements mathématiques afin de résoudre des problèmes relatifs à des
situations de vie en aviation par exemple.
LEÇON 1 : Calcul des coordonnées d’un point
MOTIVATION
Déployer des raisonnements mathématiques, résoudre des problèmes relatifs à des situations
de vie et communiquer des informations.
OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES
- Calcul des coordonnées d'un vecteur connaissant les coordonnées des points A et B ;
-
Calcul des coordonnées d’un des points A et B connaissant les coordonnées de l'autre
point et ceux du vecteur ;
- Calculer les coordonnées du vecteur somme et vecteur produit.
PRÉREQUIS
1- Place les points A (2 ; -1) ; B (4 ; 2) dans un repère orthonormé, puis calculer
xB − xA et yB − yA.
xB − xA = 4 − 2 = 2
et
yB − yA = 2 − (−1) = 2 + 1 = 3
2- Définir vecteurs égaux et opposés vecteurs.
Deux vecteurs sont dits égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Deux vecteurs sont dits opposés s’ils ont la même direction, la même norme mais de sens
contraire.
SITUATION PROBLÈME
Sur une carte d’une ville, le maire identifie les trois points suivants : lycée, marché
et sa maison. Suite à la demande des habitants, il désire placer un salon de coiffure (C)
aligné avec la maison et le lycée et situé à égale distance. De même entre le lycée et le
marché, le maire voudrait placer un poste de police (P) toujours aligné et à égale distance.
Préciser par les positions le lieu précis où le salon de coiffure et le poste de police
doivent être placés en précisant leurs coordonnées géographiques.
ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE
Dans un repère orthonormé (O, I, J).
1- Place les points A (2 ; -1) ; B (4 ; 2) et C (4 ; -1)
2- On se propose d’aller du point A au point B
en ne faisant au maximum que deux déplacements horizontal et vertical.
a) Cite un chemin que tu peux emprunter.
b) Que peux-tu dire des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et
$\overrightarrow{OI}$ ? Exprime $\overrightarrow{AC}$ en fonction de
$\overrightarrow{OI}$.
c) Que peux-tu dire des vecteurs $\overrightarrow{CB}$ et
$\overrightarrow{OJ}$ ? Exprime $\overrightarrow{CB}$ en fonction de
$\overrightarrow{OJ}$.
d) Exprime $\overrightarrow{AB}$ en fonction de
$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{CB}$, puis en fonction de
$\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OJ}$.
3) Soit E milieu du segment $[AB]$, exprime le vecteur
$\overrightarrow{OE}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et
$\overrightarrow{OB}$.
4- Préciser par les positions le lieu précis où le salon de coiffure et le poste de police
doivent être placés en donnant leurs coordonnées géographiques.
SOLUTION
2 a) $A \rightarrow C \rightarrow B$
b) Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{OI}$
sont colinéaires et on a :
$\overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{OI}$
c) Les vecteurs $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{OJ}$
sont colinéaires et on a :
$\overrightarrow{CB}=3\,\overrightarrow{OJ}$
d)
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}
=2\,\overrightarrow{OI}+3\,\overrightarrow{OJ}$
3)
$\overrightarrow{OE}
=\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OA}
+\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OB}$
4) On placera les points C et P tels que P soit à égale distance du marché et du lycée
(soit au milieu) puis C soit à égale distance de la maison et du lycée (soit au milieu).
On aura alors P (8 ; 4,5) et C (4 ; 4).
RESUME
➤ Notion de vecteurs
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur qui a pour origine le point $A$,
pour extrémité le point $B$ et est caractérisé par :
- Direction : celle de la droite $(AB)$.
- Sens : de $A$ vers $B$.
- Longueur : la longueur du segment $[AB]$.
Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ ou $\overrightarrow{BB}$ est le vecteur nul,
on note $\overrightarrow{0}$.
-
Deux vecteurs sont opposés s’ils ont la même direction,
même longueur, mais de sens différents ;
le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est l’opposé du vecteur
$\overrightarrow{AB}$, on le note encore $-\overrightarrow{AB}$. -
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction,
le même sens et la même longueur.
-
On appelle repère du plan, tout triplet $(O ; I ; J)$
de points non alignés.
Le point $O$ est appelé origine du repère ;
la droite $(OI)$ est l’axe des abscisses et la droite $(OJ)$ est l’axe des ordonnées.
-
Dans un repère $(O ; I ; J)$, pour tout point $M$, il existe un couple unique
$(x , y)$ de nombres réels tel que
$\overrightarrow{OM}=x\,\overrightarrow{OI}+y\,\overrightarrow{OJ}$.
Le couple $(x , y)$ est appelé couple de coordonnées de $M$
dans le repère $(O ; I ; J)$ et on note $M(x ; y)$.
$x$ est l’abscisse de $M$ et $y$ est l’ordonnée de $M$.
-
Dans un repère $(O ; I ; J)$, pour tout vecteur $\overrightarrow{AB}$,
il existe un couple unique $(x ; y)$ de réels appelé
coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ tel que
$\overrightarrow{AB}=x\,\overrightarrow{OI}+y\,\overrightarrow{OJ}$.
On note $\overrightarrow{AB}(x ; y)$ ou $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
$x$ est l’abscisse de $\overrightarrow{AB}$ et $y$ est l’ordonnée de
$\overrightarrow{AB}$.
➤ Calcul des coordonnées d’un vecteur connaissant ceux de ses extrémités
Soit un vecteur $\overrightarrow{AB}$ défini par les points
$A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$.
L’abscisse du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à la différence des
abscisses des points $B$ et $A$.
L’ordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à la différence des
ordonnées des points $B$ et $A$. On dit donc que le vecteur
$\overrightarrow{AB}$ est le vecteur de coordonnées $(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$.
On notera :
$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$
ou
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$.
Le point $I$ milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées
$I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.
Exemple
Soient $A(2\,;\,5)$ et $B(8\,;\,3)$ deux points du plan dans un repère
orthonormé.
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)=(8-2\,;\,3-5)=(6\,;\,-2)$
➤ Calcul des coordonnées d’un vecteur connaissant les coordonnées d’un point
et celui du vecteur
Deux vecteurs sont dits égaux ou identiques
lorsque leurs coordonnées sont les mêmes.
Si les points $A(x_A\,;\,y_A)$, $B(x_B\,;\,y_B)$,
$C(x_C\,;\,y_C)$ et $D(x_D\,;\,y_D)$ permettent de définir deux vecteurs
$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$ et
$\overrightarrow{CD}=(x_D-x_C\,;\,y_D-y_C)$ alors
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si et seulement si
$\begin{cases}
x_B-x_A = x_D-x_C \\
y_B-y_A = y_D-y_C
\end{cases}$
➤ Calcul des coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d’un
vecteur par un réel
Le plan étant muni d’un repère $(O\,;\,I\,;\,J)$.
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan et $k$ un nombre réel.
➤ Si $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x\,;\,y)$ et
$\overrightarrow{CD}$ $(x'\,;\,y')$ alors le vecteur somme
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ a pour coordonnées
$(x+x'\,;\,y+y')$.
➤ Si $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x\,;\,y)$ alors le vecteur
$k\,\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(kx\,;\,ky)$.
Exemple
Le plan étant muni d’un repère $(O\,;\,I\,;\,J)$.
On donne $\overrightarrow{AB}=(-2\,;\,1)$ et
$\overrightarrow{CD}=(6\,;\,4)$ et $k=-2$.
Calculons les coordonnées de :
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}
=(-2+6\,;\,1+4)=(4\,;\,5)$
b) $k\overrightarrow{AB}
=-2(-2\,;\,1)=(4\,;\,-2)$
c) $\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CD}
=\overrightarrow{AB}+(-3\overrightarrow{CD})
=(-2\,;\,1)+(-18\,;\,-12)=(-20\,;\,-11)$
EXERCICE D’APPLICATION
Le plan étant muni d’un repère $(O\,;\,I\,;\,J)$.
Soient $A(2\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$, $C(3\,;\,9)$ et $D(2\,;\,-3)$.
1) Calculer les coordonnées des vecteurs
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
2) Calculer les coordonnées des vecteurs sommes :
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ;
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ et
$\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}$.
3) En supposant que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}$,
déterminer les coordonnées du point $E$.
