Angles inscrits

LEÇON 1 : Angles inscrits

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

➤ Reconnaître dans un cercle un angle inscrit, un angle au centre et un arc intercepté.

➤ Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre qui intercepte le même arc.

➤ Connaître et utiliser la relation entre deux angles inscrits sur un même cercle interceptant le même arc.

MOTIVATION

Utiliser les propriétés d’angles inscrits dans la vie quotidienne pour délimiter un terrain, schématiser une pièce mécanique, confectionner un vêtement, etc.

PRÉ-REQUIS

1) Définir arc de cercle.

2) Combien d’angles contient un triangle ? Donner une relation entre les mesures des angles d’un triangle.

Solution

1) Un arc de cercle est un morceau d’un cercle.

2) Un triangle a trois angles et la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à $180^\circ$.

SITUATION PROBLÈME

JEAN et PAUL sont respectivement deux joueurs $J_1$ et $J_2$ d’une même équipe de football. Lors d’une séance d’entraînement de tirs au but, JEAN, PAUL et les pieds de poteaux $A$ et $B$ sont sur un même cercle comme le montre la figure ci-dessous.

L’entraîneur voudrait savoir si JEAN et PAUL ont les mêmes chances de marquer un but. Aide-le à répondre à sa préoccupation.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Soit $(C)$ un cercle de centre $O$ et de rayon $3\text{ cm}$.

1) Construire $(C)$ et placer les points $A$, $B$ et $C$ sur $(C)$ tel que le centre $O$ soit dans le triangle $ABC$.

2) Démontrer que les triangles $ABO$, $ACO$ sont tous isocèles.

3) a) Donner une relation entre $\text{mes}(\widehat{AOB})$ et $\text{mes}(\widehat{BAO})$.

b) Donner la relation entre $\text{mes}(\widehat{AOC})$ et $\text{mes}(\widehat{CAO})$.

c) Donner une relation entre $\text{mes}(\widehat{BAC})$, $\text{mes}(\widehat{BAO})$ et $\text{mes}(\widehat{CAO})$.

d) Donner une relation entre $\text{mes}(\widehat{BOC})$, $\text{mes}(\widehat{AOB})$ et $\text{mes}(\widehat{AOC})$.

4) En utilisant la question $3)$, donner une relation entre $\text{mes}(\widehat{BAC})$ et $\text{mes}(\widehat{BOC})$.

RÉSUMÉ

DÉFINITIONS – VOCABULAIRE

Définition 1 : Angle inscrit

Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet appartient au cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux points distincts.

Exemple 1 :

➤ Voici quelques exemples d’angles inscrits :

(1) L’angle $\widehat{ABC}$ est un angle inscrit qui intercepte l’arc de cercle $\widehat{AC}$.

(2) L’angle $\widehat{BAC}$ est un angle inscrit qui intercepte l’arc de cercle $\widehat{BC}$.

(3) L’angle $\widehat{ACB}$ est un angle inscrit qui intercepte l’arc de cercle $\widehat{AB}$.

Dans l’activité introductive, les angles $\widehat{BAC}$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ sont des angles inscrits.

Définition 2 : Angle au centre

Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle.

Exemple 2 :

➤ Voici quelques exemples d’angles au centre :

(1) L’angle $\widehat{AOB}$ est un angle au centre qui intercepte l’arc de cercle $\widehat{AB}$.

(2) L’angle $\widehat{BOC}$ est un angle au centre qui intercepte l’arc de cercle $\widehat{BC}$.

(3) L’angle $\widehat{AOC}$ est un angle au centre qui intercepte l’arc de cercle $\widehat{AC}$.

Dans l’activité introductive, les angles $\widehat{AOB}$, $\widehat{BOC}$ et $\widehat{AOC}$ sont des angles au centre.

Vocabulaire

$(C)$ désigne un cercle de centre $O$. $A$, $M$ et $B$ sont $3$ points distincts du cercle $(C)$ tel que $M \notin [AB]$. L’angle $\widehat{AMB}$ est un angle inscrit dans le cercle $(C)$ qui intercepte le même arc $\widehat{AB}$ que l’angle au centre $\widehat{AOB}$.

On dit que l’angle $\widehat{AOB}$ est l’angle au centre associé à l’angle inscrit $\widehat{AMB}$.

PROPRIÉTÉS D’ANGLES INSCRITS

Propriété 1 :

Dans un cercle, si un angle inscrit intercepte le même arc (petit arc) qu’un angle au centre, alors la mesure de l’angle inscrit est la moitié de celle de l’angle au centre.

$\text{mes}(\widehat{AMB}) = \dfrac{1}{2}\,\text{mes}(\widehat{AOB})$

Exemple 3 :

Dans l’activité introductive, $\text{mes}(\widehat{BAC}) = \dfrac{1}{2}\,\text{mes}(\widehat{BOC})$.

Propriété 2 :

Dans un cercle, si un angle inscrit intercepte le grand arc alors son angle au centre associé est un angle rentrant et on a la relation :

$\text{mes}(\widehat{AMB}) = \dfrac{1}{2}\,\text{mes}(\widehat{AOB})$ ou encore $\text{mes}(\widehat{AMB}) = 180^\circ - \dfrac{1}{2}\,\text{mes}(\widehat{AOB})$.

Propriété 3 :

Dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.

$\text{mes}(\widehat{ABC}) = \text{mes}(\widehat{ADC})$

Propriété 4 :

Soit $[AC]$ un diamètre du cercle et $D$ un point de ce cercle distinct des points $A$ et $C$. Alors le triangle $ADC$ est rectangle en $D$.

EXERCICES D’APPLICATION

LEÇON 2 : Polygones réguliers

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES

– Reconnaître un polygone régulier.

– Construire un polygone régulier connaissant la mesure de l’angle au centre et le rayon de son cercle circonscrit.

– Savoir calculer pour un polygone régulier la mesure de ses angles et celle de l’angle au centre qui intercepte chaque côté du polygone.

MOTIVATION

Décrire des formes planes dans un décor, identifier l’objet décrit par une personne, détecter la répétition d’un motif dans une peinture, sur un tissu, sur un objet d’art graphique…

Dessiner un motif de tissu.

PRÉ-REQUIS

1) Définir un polygone et citer quelques exemples.

2) Comment appelle-t-on le cercle qui passe par les sommets d’un polygone ?

Solution

1) Un polygone est une figure géométrique qui a au moins trois côtés.

Exemple : un triangle, un rectangle, un trapèze, un parallélogramme, un losange, …

2) Le cercle qui passe par les sommets d’un polygone est appelé cercle circonscrit au polygone.

Dans le cadre de la semaine des sciences, Olivier veut déterminer le nombre de côtés et le périmètre d’un polygone régulier dans la cour arrière de l’école. Tous les segments déjà tracés mesurent 2 m et forment un angle de 156° entre eux. Olivier est embarrassé, aide le à résoudre son problème.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

1) Tracer un cercle (C) de centre O et de rayon 3cm.

2) Placer deux points A et B sur le cercle (C) tel que mes($A\widehat{O}B$) = 72°.

3) Tracer le segment [AB] puis à l’aide du compas, reporter la longueur de ce segment le long du cercle (C) pour obtenir les points C, D et E et enfin relier les points du polygone ABCDE.

4) Combien de côtés possède ce polygone ? comment l’appelle-t-on ?

5) Justifier que les côtés consécutifs de ce polygone ont même longueur et que ses angles sont de même mesure.

6) En déduire la nature exacte de ce polygone.

RÉSUMÉ

Définition :

Un polygone régulier est un polygone dont tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles formés par deux côtés consécutifs sont de même mesure.

Exemple 1 :

Voici quelques polygones réguliers bien connus :

Un triangle équilatéral, un carré, un pentagone régulier et un hexagone régulier.

Exemple 2 :

PROPRIÉTÉS :

Propriété 1 :

Si un polygone est régulier, alors il est inscriptible dans un cercle.

Le centre de ce cercle est appelé centre du polygone régulier.

Exemple 3 :

• Un octogone régulier est inscriptible dans un cercle.
• Dans l’activité introductive, le pentagone régulier ABCDE de centre O est inscriptible dans un cercle.

Propriété 2 :

• Si un polygone régulier a n côtés, alors l’angle au centre qui intercepte chaque côté mesure $\dfrac{360^\circ}{n}$.
• Si un polygone régulier a n côtés, alors l’angle formé par deux côtés consécutifs est $180^\circ - \dfrac{360^\circ}{n}$.

Exercice d’application