Séries statistiques regroupées en classe

LEÇON 1 : EFFECTIFS ET FRÉQUENCES CUMULÉES CROISSANTES OU DÉCROISSANTES

COMPÉTENCE À ACQUÉRIR PAR LES ÉLÈVES

L’élève doit être capable de compléter un tableau statistique par les lignes des effectifs cumulés croissants, effectifs cumulés décroissants, fréquences cumulées croissantes et fréquences cumulées décroissantes.

SITUATION PROBLÈME

Les moyennes sur 20 des 60 élèves d’une classe de première D, à la fin du troisième trimestre ont été consignées dans le tableau ci-dessous :

Ces moyennes sont classées en quatre catégories à savoir :

• mention faible pour ceux dont la moyenne est comprise entre 0 et 8 (8 exclu),
• mention insuffisante pour les moyennes comprises entre 8 et 10 (10 exclu),
• mention encouragement pour les moyennes comprises entre 10 et 14 (14 exclu),
• mention félicitation pour les moyennes comprises entre 14 et 20 (20 exclu).

Au terme de ce classement, le professeur principal affirme que 33,33 % des élèves ont eu la moyenne. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

En vous servant du tableau des valeurs de la situation problème, répondez aux questions suivantes :

1. Déterminer le nombre d’élèves ayant une moyenne comprise entre 3 et 8, avec 8 inclus.
2. Compléter le tableau suivant :

   Intervalles de notes	[0;8[	[8;10[	[10;14[	[14;20[
   Nombre d’élèves

3. Que constate-t-on en additionnant tous les nombres de la deuxième ligne ?
4. Calculer le pourcentage des élèves ayant moins de 10/20.

SOLUTION DE L’ACTIVITÉ

1. En regroupant les différents éléments du tableau, on obtient :

Ainsi, on trouve que 17 élèves ont une moyenne comprise entre 3 et 8, avec 8 inclus.

2. En complétant le tableau, on obtient le nouveau tableau suivant :

3. En additionnant tous les nombres de la deuxième ligne, on trouve 60 qui représente l’effectif total de la classe de première D.

4. Sur les 60 élèves de cette classe, 21 ont au moins de 10/20. Ainsi, le pourcentage des élèves ayant moins de 10/20 est :

$f=\dfrac{21}{60}\times100=35\ \%$

5. En procédant de la même façon que dans la question 4, on se rend compte que 39 élèves sur les 60 ont eu la moyenne (notes supérieures ou égales à 10/20). Ainsi, le pourcentage des élèves ayant eu la moyenne est :

$f=\dfrac{39}{60}\times100=65\ \%$. Le professeur principal n’a donc pas raison lorsqu’il affirme que 33,33 % d’élèves ont eu la moyenne.

RÉSUMÉ

1.1   QUELQUES RAPPELS

DÉFINITION 1.1.1.

En statistique, l’ensemble sur lequel on travaille est appelé population.

DÉFINITION 1.1.2.

La particularité commune que l’on étudie sur une population donnée est appelée caractère.

• Les valeurs prises par le caractère étudié sont appelées modalités.
• Lorsque les modalités sont des intervalles de $\mathbb{R}$, le caractère est quantitatif continu.
• Le nombre d’individus $(n_k)$ d’une modalité est appelé effectif de cette modalité.
• Le nombre total $N$ d’individus de la population est appelé effectif total.
• Le rapport $f_k=\dfrac{n_k}{N}$ est appelé fréquence de la modalité $k$.

1.2   EFFECTIF CUMULÉ ET FRÉQUENCE CUMULÉE

DÉFINITION 1.2.1.

Une classe de modalités est un intervalle de la forme $[a;b[$ avec $a$ et $b$ des nombres réels tels que $a$ est strictement inférieur à $b$.

DÉFINITION 1.2.2.

L’effectif d’une classe $[a;b[$ est le nombre d’individus de la population étudiée dont les modalités sont dans l’intervalle $[a;b[$.

DÉFINITION 1.2.3.

La fréquence d’une classe est le quotient de son effectif $n_i$ par l’effectif total $N$ de la population.

Si $f_i$ désigne la fréquence de la classe $i$, alors on a :

$f_i=\dfrac{n_i}{N}\times100$.

Dans ce cas, $f_i$ est exprimée en pourcentage.

On suppose que le tableau de la série statistique est le suivant :

1.2.1   EFFECTIF CUMULÉ

DÉFINITION 1.2.4.

• On appelle effectif cumulé croissant de la modalité $[a_{k-1};a_k[$, noté ECC, le nombre $n_1+n_2+\cdots+n_k$.
• On appelle effectif cumulé décroissant de la modalité $[a_{k-1};a_k[$, noté ECD, le nombre $n_k+n_{k+1}+\cdots+n_p$.

REMARQUE

L’ECC de la classe $[a_{k-1};a_k[$ est l’ECC du nombre $a_k$.

L’ECD de la classe $[a_{k-1};a_k[$ est l’ECD du nombre $a_k$.

EXEMPLE

Le tableau suivant donne les ECC et ECD de la série statistique étudiée :

1.2.2   FRÉQUENCE CUMULÉE

DÉFINITION 1.2.5.

• On appelle fréquence cumulée croissante de la modalité $[a_{k-1};a_k[$, notée FCC, le nombre $f_1+f_2+\cdots+f_k$.
• On appelle fréquence cumulée décroissante de la modalité $[a_{k-1};a_k[$, notée FCD, le nombre $f_k+f_{k+1}+\cdots+f_p$.

REMARQUES

La FCC de la classe $[a_{k-1};a_k[$ est la FCC du nombre $a_k$.

La FCD de la classe $[a_{k-1};a_k[$ est la FCD du nombre $a_k$.

EXEMPLE

Le tableau suivant donne les ECC, ECD, FCC et FCD de la série statistique étudiée :

1.2.3   EXERCICES D’APPLICATION

Une enquête a été réalisée sur la taille des 35 élèves d’une classe de première d’un établissement scolaire. Au moment de la saisie, certaines informations ont été perdues par mauvaise manipulation mais on a obtenu le tableau suivant :

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

En déduire le nombre d’élèves qui ont une taille supérieure ou égale à 155 cm.

LEÇON II : CARACTÉRISTIQUES DE POSITION — DURÉE : 100 Minutes

COMPÉTENCE À ACQUÉRIR

Calculer la moyenne, déterminer la classe modale, le mode et la médiane d’une série regroupée en classes.

SITUATION PROBLÈME

Le professeur de sport du Lycée technique de Mvengue a fait une étude sur la taille des élèves de la classe de P^ème afin de pouvoir les classer par ordre croissant de leur taille au stade pendant le cours. Il a regroupé les tailles par catégorie et a obtenu le tableau suivant :

Après avoir fait ce classement, il affirme que la moyenne de cette classe est 163,5 cm. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Les notes sur 20 obtenues en Mathématiques par les élèves de P^ème du Lycée technique de Mvengue ont permis d’obtenir la série statistique suivante :

1. Déterminer l’effectif total $N$ des élèves de cette classe.
2. Quelle est la classe qui a le plus grand effectif ?
3. Compléter le tableau en faisant apparaître les centres $c_i$ de chaque classe. En déduire le mode de cette série.
4. Calculer le rapport $\dfrac{n_1c_1+n_2c_2+n_3c_3+n_4c_4+n_5c_5+n_6c_6}{N}$. Que représente cette valeur ?

SOLUTION DE L’ACTIVITÉ

1. L’effectif total des élèves de cette classe est $N=47$.

2. La classe ayant le plus grand effectif est : $[8;10[$.

3. Tableau faisant apparaître la ligne des centres $c_i$ :

4. Notons $\overline{X}$ ce rapport. On a :

$ \overline{X} = \dfrac{n_1c_1+n_2c_2+n_3c_3+n_4c_4+n_5c_5+n_6c_6}{N} $

$ = \dfrac{10\times2{,}5+5\times6{,}5+13\times9+7\times11+8\times13{,}5+4\times17{,}5}{47} $

$=\dfrac{429{,}5}{47}$

$=9{,}14$

La valeur obtenue représente la moyenne de la série statistique étudiée.

5. Il suffit de trouver le centre de chaque classe et ensuite trouver la taille moyenne de cette classe en procédant comme dans la question précédente. On a :

Ainsi, la taille moyenne de cette classe est : $ \dfrac{8065}{50} = 161{,}3\text{ cm} $.

RÉSUMÉ

Soit $I=[a;b[$ une classe d’effectif $n_k$.

DÉFINITION 1.2.6.

On appelle amplitude de $I$, le nombre réel $A_m$ défini par $A_m=b-a$.

La densité de la classe $I$ est le nombre réel $d$ défini par $d=\dfrac{n_k}{A_m}$.

Le centre de la classe $I$ est le nombre réel $c$ défini par $c=\dfrac{a+b}{2}$.

1.3   MOYENNE, CLASSE MODALE, MODE ET MÉDIANE

1.3.1   CLASSE MODALE

DÉFINITION 1.3.1.

On appelle classe modale d’une série statistique regroupée en classes, la classe qui a le plus grand effectif.

EXEMPLE

Dans la série étudiée en activité, la classe modale est la classe $[8;10[$.

1.3.2   MODE

DÉFINITION 1.3.2.

Le mode d’une série statistique regroupée en classes, est le centre de la classe modale.

EXEMPLE

Dans la série étudiée en activité, le mode est $9$.

1.3.3   MOYENNE

DÉFINITION 1.3.3.

La moyenne d’une série statistique regroupée en classes, est le nombre réel noté $\overline{X}$ défini par :

$ \overline{X} = \dfrac{\sum_{i=1}^{p} n_i c_i}{N} = \dfrac{n_1c_1+n_2c_2+\cdots+n_pc_p}{N} = \sum_{i=1}^{p} f_i\times c_i $

où $(n_i,c_i)$ est la série des centres des classes associée à la série regroupée ; $N$ l’effectif total ; $f_i$ la fréquence de la classe $i$ ; $c_i$ le centre de la classe $i$ et $p$ le nombre de classes.

EXEMPLE

La moyenne de la série étudiée à l’activité est $\overline{X}=9{,}14$.

1.3.4   MÉDIANE

DÉFINITION 1.3.4.

La médiane d’une série statistique regroupée en classes est le nombre $M_e$ tel que la moitié au moins des individus ont une modalité inférieure ou égale à $M_e$ et la moitié au moins des individus ont une modalité supérieure ou égale à $M_e$.

DÉFINITION 1.3.5.

L’intervalle médian ou classe médiane est la classe qui contient la médiane de la série.

Détermination de la classe médiane

En utilisant le tableau des ECC, pour déterminer l’intervalle médian, il suffit de trouver la classe correspondant à la première fois où la valeur de l’ECC est supérieure ou égale à la moitié de l’effectif total. Exemple : la classe médiane de la série étudiée à l’activité est la classe ………

Détermination de la médiane par la méthode d’interpolation linéaire

Pour déterminer la médiane par interpolation linéaire, on procède comme suit :

1. On détermine l’intervalle médian.
2. On pose $A(a;f(a))$, $M\left(\dfrac{N}{2};M_e\right)$, $B(b;f(b))$ puis on calcule :
   • $\overline{AB}=(b-a;\,f(b)-f(a))$
   • $\overline{AM}=\left(M_e-\dfrac{a}{2};\,\dfrac{N}{2}-f(a)\right)$
   où $f(a)$ et $f(b)$ désignent respectivement l’ECC de $a$ et l’ECC de $b$.
3. On résout ensuite l’équation :

   $ \dfrac{M_e-a}{\frac{N}{2}-f(a)} = \dfrac{b-a}{f(b)-f(a)} $

   d’inconnue $M_e$.

EXEMPLE

Déterminons la médiane de la série étudiée à l’activité.

EXERCICES D’APPLICATION

Une enquête sur la durée des communications passées dans une cabine téléphonique a donné les résultats suivants :

1. Quelle est la classe modale de cette série statistique ? Justifier votre réponse.
2. En déduire le mode de cette série statistique.
3. Compléter le tableau suivant :

4. Déterminer la durée moyenne des communications passées dans cette cabine téléphonique.
5. Calculer la moyenne des communications dont la durée est supérieure ou égale à 3.
6. En utilisant la méthode par interpolation linéaire, calculer la médiane $M_e$ de cette série statistique.

LEÇON III : CARACTÉRISTIQUES DE DISPERSION — DURÉE : 50 Minutes

COMPÉTENCE À ACQUÉRIR

Calculer l’écart moyen, la variance et l’écart type d’une série regroupée en classe.

SITUATION PROBLÈME

Le fondateur d’un grand établissement scolaire, dans le besoin de compléter l’effectif des élèves de la classe de 1^èreD₁ à 25 élèves pour l’année scolaire 2020/2021 lance le recrutement de deux élèves dans cette classe. Il donne l’instruction au principal que les candidats vont subir trois épreuves : Mathématiques, Français, Anglais et que le candidat retenu doit avoir la plus grande moyenne.

Ngah et Fohe sont présentés et ont obtenu les notes suivantes :

Le principal se rend compte que les deux candidats ont eu la même moyenne. Qui des deux candidats sera retenu ? Justifier votre réponse.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

Les notes d’anglais des élèves d’une classe de 1^èreD, réparties suivant leur performance au cours d’une évaluation, sont représentées dans le tableau ci-dessous :

1. Déterminer l’effectif total $N$ de cette série statistique.
2. Compléter le tableau suivant :

3. En déduire la moyenne de cette série statistique.
4. Calculer le rapport $$ e_m=\dfrac{ n_1|c_1-\overline{X}|+ n_2|c_2-\overline{X}|+ n_3|c_3-\overline{X}|+ n_4|c_4-\overline{X}|+ n_5|c_5-\overline{X}|+ n_6|c_6-\overline{X}| }{N} $$
5. Calculer le rapport $$ V= \dfrac{ n_1(c_1-\overline{X})^2+ n_2(c_2-\overline{X})^2+ n_3(c_3-\overline{X})^2+ n_4(c_4-\overline{X})^2+ n_5(c_5-\overline{X})^2+ n_6(c_6-\overline{X})^2 }{N} $$
6. En déduire le nombre réel $\sigma=\sqrt{V}$.

SOLUTION DE L’ACTIVITÉ

1. L’effectif total est $N=95$.

2. Complétons le tableau :

3. D’après le tableau de la question 2, on a :

$ \overline{X}= \dfrac{19+63+75+175+72+77}{95} = \dfrac{481}{95} = 5{,}1 $

4. Calculons le rapport $e_m$ :

$ e_m= \dfrac{ 19|1-5{,}1|+ 21|3-5{,}1|+ 15|5-5{,}1|+ 25|7-5{,}1|+ 8|9-5{,}1|+ 7|11-5{,}1| }{95} $

$=\dfrac{243{,}5}{95}=2{,}56$

Ainsi, $e_m=2{,}56$.

5. Calculons le rapport $V$ :

$ V= \dfrac{ 19(1-5{,}1)^2+ 21(3-5{,}1)^2+ 15(5-5{,}1)^2+ 25(7-5{,}1)^2+ 8(9-5{,}1)^2+ 7(11-5{,}1)^2 }{95} $

$=\dfrac{867{,}75}{95}=9{,}13$

Ainsi, $V=9{,}13$.

6. Déduisons le réel $\sigma=\sqrt{V}$.

On a : $\sqrt{V}=\sqrt{9{,}13}=3{,}02$.

Donc $\sigma=3{,}02$.

RÉSUMÉ

1.4   ÉCART MOYEN, VARIANCE ET ÉCART TYPE

Dans cette partie, nous présentons uniquement quelques caractéristiques de dispersion autour de la moyenne. $N$ désigne l’effectif total de la série, $n_i$ l’effectif de la classe $i$, $c_i$ le centre de la classe $i$ et $p$ le nombre de classes.

1.4.1   ÉCART MOYEN

DÉFINITION 1.4.1.

On appelle écart moyen d’une série statistique regroupée en classes, le nombre réel noté $e_m$ défini par :

$ e_m= \dfrac{ n_1|c_1-\overline{X}|+ n_2|c_2-\overline{X}|+ \cdots+ n_p|c_p-\overline{X}| }{N} $

EXEMPLE

L’écart moyen de la série étudiée à l’activité est $e_m=2{,}56$.

1.4.2   VARIANCE

DÉFINITION 1.4.2.

On appelle variance d’une série statistique regroupée en classes, le nombre réel positif $V$ défini par :

$ V= \dfrac{ n_1(c_1-\overline{X})^2+ n_2(c_2-\overline{X})^2+ \cdots+ n_p(c_p-\overline{X})^2 }{N} = \sum_{i=1}^{p} f_i(c_i-\overline{X})^2 $

PREUVE

En exercice.

REMARQUE 1.4.1.

Dans la pratique, le calcul de la variance se fait facilement grâce à la formule suivante dite de Koenig :

$ V= \dfrac{\sum_{i=1}^{p} n_i\,c_i^{\,2}}{N} - \overline{X}^{\,2} $

EXEMPLE

La variance de la série étudiée à l’activité est $V=9{,}13$.

1.4.3   ÉCART TYPE

DÉFINITION 1.4.3.

L’écart type d’une série statistique regroupée en classe noté $\sigma$, est tout simplement la racine carrée de la variance : $\sigma=\sqrt{V}$.

Le symbole $\sigma$ se lit Sigma.

EXEMPLE

L’écart type de la série étudiée à l’activité est $\sigma=3{,}02$.

REMARQUE 1.4.2.

1. L’écart type permet d’avoir une idée de la façon dont les valeurs de la série s’écartent par rapport à la moyenne : c’est une mesure de dispersion. Un écart type faible correspond à une série dont les valeurs du caractère sont concentrées autour de la moyenne.
2. Les calculs de moyenne, de variance et d’écart type sont, pour des séries prenant un grand nombre de valeurs, des calculs compliqués, mais ils sont facilement réalisés par des calculatrices utilisées en statistiques et les ordinateurs.

EXERCICES D’APPLICATION

Une enquête sur la durée des communications passées dans une cabine téléphonique a donné les résultats suivants :

1. Déterminer la durée moyenne des communications passées dans cette cabine téléphonique.
2. Calculer l’écart type de cette série statistique.
3. Interpréter le résultat de la question 2.

LEÇON IV : REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES PAR LES HISTOGRAMMES ET LES COURBES CUMULATIVES

COMPÉTENCE À ACQUÉRIR

Construire et interpréter un histogramme, construire et interpréter la courbe des effectifs ou des fréquences cumulés.

SITUATION PROBLÈME

Un chef de village a mené une enquête auprès de sa population afin d’avoir une idée sur la taille de ses habitants. Les informations recueillies auprès des habitants ont permis aux responsables chargés de mener cette enquête de dresser le tableau suivant :

Le chef a rappelé aux responsables qu’il a souvent vu dans des documents des diagrammes formés de rectangles collés dans lesquels on peut trouver des informations d’une enquête et qu’il souhaiterait que les informations soient représentées sur ce type de diagramme. Aider les responsables chargés de l’enquête à réaliser ce travail.

PRÉ-REQUIS

Le plan est muni du repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. On considère les points $A(7;2)$, $B(5;20)$ et $C(50;110)$.

Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. Comment trouver graphiquement les coordonnées d’un point quelconque de ce repère ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE

La série statistique suivante porte sur les notes de mathématiques d’une classe de 1^èreD :

1. Compléter le tableau suivant :

2. On considère le repère orthogonal suivant :
   
   1. Reproduire le repère ci-dessus.
   2. Construire les rectangles collés tels que la base de chaque rectangle soit proportionnelle à l’amplitude de la classe et la hauteur proportionnelle à la densité de cette classe.
   3. Dans le même repère, placer les points de coordonnées $(c_i;d_i)$. Quel nom peut-on donner à la courbe obtenue en joignant successivement les points obtenus par des lignes ?
3. 1. Pour chaque classe $(a;b[$, placer les points de coordonnées $(b;\text{ECC}(b))$. Quel nom peut-on donner à la courbe obtenue en joignant successivement les points obtenus par des lignes ?
   2. Dans le même repère, placer les points de coordonnées $(a;\text{ECD}(a))$. Quel nom peut-on donner à la courbe obtenue en joignant successivement les points obtenus par des lignes ?
   3. Donner une valeur approchée du point d’intersection des deux courbes obtenues en (i) et (ii).

      Que représente cette valeur ?

   4. ECC(b) et ECD(a) représentent respectivement l’effectif cumulé croissant de $b$ et l’effectif cumulé décroissant de $a$.

SOLUTION DE L’ACTIVITÉ

1. Complétons le tableau :

2. Pour les questions 2(i), 2(ii) et 2(iii), voir figure.

3. 1. Figure.
   2. Voir figure. La courbe obtenue en joignant les points par des lignes est appelée courbe des effectifs cumulés croissants.
   3. Voir figure. La courbe obtenue en joignant les points par des lignes est appelée courbe des effectifs cumulés décroissants.
   4. Le nombre réel 11,6 est une valeur approchée de l’abscisse du point d’intersection des deux courbes. Cette valeur représente la médiane de la série statistique étudiée.

RÉSUMÉ

1.4   REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES PAR LES HISTOGRAMMES ET LES COURBES CUMULATIVES

1.5.1   HISTOGRAMME ET POLYGONE DES EFFECTIFS

Un histogramme est un diagramme formé de rectangles juxtaposés dont les bases sont proportionnelles aux amplitudes et les hauteurs sont proportionnelles :

1. aux effectifs si toutes les classes ont la même amplitude ;
2. aux densités si toutes les classes n’ont pas la même amplitude.

Un histogramme est utilisé pour représenter une série statistique dont les valeurs sont regroupées en classes. Le polygone des effectifs est une ligne brisée obtenue en joignant dans un repère orthogonal, les points dont les abscisses sont les milieux des classes et les ordonnées sont proportionnelles :

1. aux effectifs si toutes les classes ont la même amplitude ;
2. aux densités si toutes les classes n’ont pas la même amplitude.

EXEMPLE

Compléter le tableau de la série statistique suivante puis représenter l’histogramme et le polygone des effectifs.

Solution

On obtient le diagramme suivant :

1.5.2   COURBES DES ECC ET DES ECD

Le polygone des effectifs cumulés croissants est une ligne brisée joignant chacun des points ayant pour abscisse la borne supérieure de la classe et pour ordonnée son effectif cumulé croissant.

Le polygone des effectifs cumulés décroissants est une ligne brisée joignant chacun des points ayant pour abscisse la borne inférieure de la classe et pour ordonnée son effectif cumulé décroissant.

EXEMPLE

Construisons le polygone des ECC et des ECD de la série suivante :

Solution

La courbe en rouge représente le polygone des effectifs cumulés croissants et celle en noire le polygone des effectifs cumulés décroissants.

À RETENIR

L’abscisse du point d’intersection des deux courbes représente la médiane de la série statistique étudiée.

1.5.3   EXERCICES D’APPLICATION

Un contrôle de vitesse a été effectué sur une autoroute où la vitesse est limitée à 130 km/h. La série statistique obtenue est représentée ci-dessous par son polygone des effectifs cumulés croissants :

1. Établir le tableau faisant ressortir les effectifs et les effectifs cumulés décroissants de cette série.
2. Quel est le pourcentage des véhicules en infraction ?
3. Déterminer la classe modale et la moyenne de cette série statistique.
4. Construire dans le même repère le polygone des ECD et en déduire graphiquement une valeur approchée de la médiane de cette série statistique.
5. Construire l’histogramme de cette série dans un autre repère.