DÉRIVABILITÉ ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION

Introduction

Dans ce chapitre, vous allez découvrir la dérivabilité et la représentation graphique d’une fonction. L’idée est simple : on apprend à lire une courbe, à comprendre sa forme, et à dire comment elle “avance” quand on se déplace sur l’axe des nombres. En Première D, ce thème revient souvent dans les devoirs et les examens, parce qu’il relie le calcul et le dessin d’une courbe. Le cours suit l’esprit du programme APC : vous progressez pas à pas, avec des objectifs clairs, pour savoir quoi faire à la fin.

À quoi ça sert

La dérivabilité sert à comprendre la “vitesse de changement” d’une fonction à un endroit précis. Grâce à cela, on peut décrire la pente d’une courbe, repérer où elle monte ou où elle descend, et expliquer pourquoi elle tourne ou s’aplatit. Dans la vie courante, cette idée aide à parler d’évolution : une température qui augmente, un prix qui varie, ou une distance qui change avec le temps. En sciences, on l’utilise pour analyser des phénomènes qui bougent. Aux examens, vous vous en servez pour étudier une fonction et tracer une courbe propre.

Ce que vous allez apprendre dans le chapitre

Le chapitre est découpé en leçons courtes. Chaque leçon ajoute une compétence utile, puis vous assemblez tout pour analyser une courbe. À la fin, vous saurez notamment :

dire si une fonction est dérivable en un point, avec une explication simple ;

calculer une dérivée et l’utiliser pour étudier une fonction ;

trouver l’équation d’une tangente et la placer sur le graphique ;

déduire le sens de variation et faire un graphique clair.

Les leçons du chapitre

Voici les leçons de ce chapitre, dans l’ordre. Si vous voulez les fiches, les devoirs et les corrections, contactez Ndolomath par WhatsApp au +237 682 468 359.

LEÇON 1 : DÉFINITION DE LA DÉRIVABILITÉ

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES SPÉCIFIQUES :

À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :

Définir le nombre dérivé d’une fonction en un réel.
Étudier la dérivabilité d’une fonction en un point et dans un intervalle.

MOTIVATION

La notion de dérivée peut permettre de déterminer la vitesse d’un mobile en un instant donné. Dans cette leçon nous verrons comment déterminer le nombre dérivé d’une grandeur pour une inconnue particulière.

PRÉREQUIS :

Calculer les limites $\lim\limits_{x\to -3}\dfrac{x^2-9}{x+3}$ ; $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sqrt{x}}{x}$ ; $\lim\limits_{x\to -1}(7x+9)$.

SITUATION PROBLÈME :

Un véhicule en mouvement rectiligne a une équation horaire $x(t)=3t+2$ où $t$ est en seconde. Déterminer sa vitesse à l’instant $t=5\,\text{min}$.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies par $f(x)=3x+2$ et $g(x)=\sqrt{x}$.

Déterminer leurs domaines de définition.
1. Calculer $\lim\limits_{x\to 300} f(x)$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)$.
2. $f$ et $g$ sont-elles continues en $300$ et $0$ respectivement ?
1. Calculer $\lim\limits_{x\to 300^+}\frac{f(x)-f(300)}{x-300}$, $\lim\limits_{x\to 300^-}\frac{f(x)-f(300)}{x-300}$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$.
2. Lesquelles de ces trois limites sont-elles réelles ? Comparez-les.

4) En physique, la vitesse instantanée à un instant $t_0$ est définie par $x'(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0}\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}$ où $x(t)$ est le déplacement en fonction du temps $t$ en seconde.

Si $x(t)=3t+2$ et $t_0=5\,\text{min}$, alors déduire la vitesse du mobile $x'(t_0)$ après $5\,\text{min}$ de mouvement.
Que représente $x'(300)$ pour $x(t)$ ?

SOLUTION

Le domaine de $f$ est $\mathbb{R}$ et celui de $g$ est $[0,+\infty[$.

1) a/ $\lim\limits_{x\to 300} f(x)=902$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=0$.

b/ $f$ est continue en $300$ car $\lim\limits_{x\to 300} f(x)=f(300)$ et $g$ est continue en $0$ car $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=g(0)$.

2) a/ $\lim\limits_{x\to 300^+}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^+}\dfrac{3x+2-902}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^+}\dfrac{3(x-300)}{x-300}=3$

$\lim\limits_{x\to 300^-}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^-}\dfrac{3x+2-902}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^-}\dfrac{3(x-300)}{x-300}=3$

$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0} =\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sqrt{x}}{x} =\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$

b/ $\lim\limits_{x\to 300^+}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^-}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300} =3\in\mathbb{R}$.

4) a/ Comme $5\,\text{min}=300\,\text{s}$, on a $x'(300)=\lim\limits_{t\to 300}\dfrac{x(t)-x(300)}{t-300}=3$ d’après 3a/.

b/ $x'(300)$ représente le nombre dérivé de $x$ en $300$.

RÉSUMÉ

1) NOMBRE DÉRIVÉ EN UN POINT $x_0$

DÉFINITION :

Soit $f$ une fonction définie dans un intervalle $I$ et $x_0\in I$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ est finie (c’est-à-dire $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a\in\mathbb{R}$). Si $f$ est dérivable en $x_0$ alors le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ est le réel $f'(x_0)$ tel que $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

EXEMPLES :

1) La fonction $f$ de l’activité est dérivable en $300$ car $\lim\limits_{x\to 300}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300}=3$ et le nombre dérivé de $f$ en $300$ est $f'(300)=3$ tandis que la fonction $g$ n’est pas dérivable en $0$ car $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=+\infty$.

2) Soit la fonction définie par $h(x)=x^2$. Pour $x_0=2$, on a $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{h(x)-h(2)}{x-2}=4$. Alors $h$ est dérivable en $x_0=2$ et le nombre dérivé en $x_0=2$ est $h'(2)=4$.

REMARQUE :

L’expression $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ est appelée taux de variation de $f$ en $x_0$.

PROPRIÉTÉS :

P1 : Soit $f$ une fonction. Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $f$ est continue en $x_0$. La réciproque est fausse.

EXEMPLE : La fonction $f(x)=\sqrt{x}$ est continue en $0$ mais n’est pas dérivable en $0$.

P2 : On dit qu’une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ ($I\subset D_f$) si elle est dérivable en tout point $x_0$ de $I$.

EXEMPLES :

Toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

2) DÉRIVABILITÉ À GAUCHE – DÉRIVABILITÉ À DROITE

DÉFINITION

Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ à droite si $\lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'_d(x_0)$ est un réel.

Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ à gauche si $\lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'_g(x_0)$ est un réel.

Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en $x_0$ et le nombre dérivé de $f$ à gauche en $x_0$ est égal au nombre dérivé de $f$ à droite en $x_0$, c’est-à-dire $f'_d(x_0)=f'_g(x_0)$.

REMARQUE :

Si une fonction $f$ est dérivable à gauche et à droite de $x_0$ sans être dérivable en $x_0$ alors la courbe de $f$ admet en $x_0$ deux demi-tangentes. Dans ce cas, le point d’abscisse $x_0$ est appelé point anguleux.

EXEMPLE :

Étudier la dérivabilité de la fonction $f(x)=|x|$ en $x_0=0$.

On a $ f(x)= \begin{cases} -x & \text{si } x<0 \\ x & \text{si } x>0 \\ 0 & \text{si } x=0 \end{cases} $ alors :

$\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{-x-0}{x} =-1$ : $f$ est dérivable à gauche de $0$.
$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x-0}{x} =1$ : $f$ est dérivable à droite de $0$.

Comme $\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} \neq \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$, alors $f$ n’est pas dérivable en $0$. Par conséquent, sa courbe représentative admet en $0$ un point anguleux.

EXERCICES D’APPLICATION

1) Soit $f$ une fonction définie par $ f(x)= \begin{cases} -7x+9 & \text{si } x>1 \\ 5x-3 & \text{si } x\le 1 \end{cases} $

$f$ est-elle continue en $1$ ?
Étudier la dérivabilité à droite et à gauche de $1$.
En déduire $f'_+(1)$ et $f'_-(1)$.
$f$ est-elle dérivable en $1$ ?
Quelle est la nature du point $A(1)$ ?

2) Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{x^2+3x}{x+2}$.

Déterminer le domaine de définition de $g$.
Étudier la continuité de $g$ en $3$ et $-2$.
Étudier la dérivabilité de $g$ en $3$ et $-2$.

LEÇON 2 : CALCUL DES DÉRIVÉES

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES SPÉCIFIQUES :

À la fin de ce chapitre, l’élève devra être capable de :

Définir la fonction dérivée d’une fonction.
Calculer la dérivée d’une fonction dérivable.
Interpréter graphiquement le nombre dérivé.

MOTIVATION

La notion de dérivée peut permettre de déterminer la vitesse d’un mobile en un instant quelconque. Dans cette leçon nous verrons comment déterminer la dérivée d’une grandeur pour une inconnue quelconque.

CONTRÔLE DES PRÉREQUIS

Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$, définir $f'(x_0)$.
Écrire sans radical au numérateur l’expression $\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-4}$ pour $x$ réel positif distinct de $4$.
Simplifier les fractions $\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3}$ et $\dfrac{x^2-9}{x-3}$.

SITUATION PROBLÈME :

Un véhicule en mouvement rectiligne a une équation horaire $x(t)=5t^2+1$ où $t$ est en seconde. Déterminer sa vitesse à l’instant $t$ quelconque.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :

1) Soient les fonctions $f$, $g$, $h$ et $t$ dérivables et définies par : $f(x)=5x^2+1$, $g(x)=\sqrt{x}$, $q(x)=7$, $h(x)=\dfrac{1}{x}$, $t(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels.

Soit $x_0\in\mathbb{R}$, calculer $f'(x_0)$ puis déduire l’expression de $f'(x)$ pour tout réel $x$.
Soit $x_0\ge 0$, calculer $g'(x_0)$ puis déduire l’expression de $g'(x)$ pour tout réel $x$ strictement positif.
Soit $x_0\ne 0$, calculer $h'(x_0)$ puis déduire l’expression de $h'(x)$ pour tout réel $x$ non nul.
Soit $x_0\in\mathbb{R}$, calculer $t'(x_0)$ puis déduire l’expression de $t'(x)$ pour tout réel $x$.
Soit $x_0\in\mathbb{R}$, calculer $q'(x_0)$ puis déduire l’expression de $q'(x)$ pour tout réel $x$.

2) Dans cette partie $f$ et $g$ sont deux fonctions quelconques.

Soit $x_0\ge 0$, calculer $(f+g)'(x_0)$, puis déduire $(f+g)'(x)$ pour tout réel $x$ positif.

b. Soit $x_0\ge 0$ ; sachant que $(fg)(x)-(fg)(x_0)=f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)$, calculer $(f.g)'(x_0)$, puis déduire l’expression de $(f.g)'(x)$ pour tout réel $x$.

c. Sachant que $f(x)g(x_0)-g(x)f(x_0)=f(x)g(x_0)-g(x)f(x_0)+f(x_0)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)$, montrer de même que $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}$.

SOLUTION :

a. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{5x^2+1-(5x_0^2+1)}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{5x^2-5x_0^2}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{5(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0} =10x_0$ ;

d’où $f'(x)=10x$ pour tout réel $x$.

b. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})} {(x-x_0)(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}} =\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}$ ;

d’où $g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ pour tout réel $x$ strictement positif.

c. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x_0-x}{x_0x(x-x_0)} =-\dfrac{1}{x_0^2}$ ;

d’où $h'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ pour tout réel $x$ non nul.

d. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{t(x)-t(x_0)}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{ax-ax_0}{x-x_0} =a$ ;

d’où $t'(x)=a$ pour tout réel $x$.

e. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{q(x)-q(x_0)}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{7-7}{x-x_0}=0$ ;

d’où $q'(x)=0$ pour tout réel $x$.

2) a. $(f+g)'(x_0) =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} +\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} =f'(x_0)+g'(x_0)$.

D’où $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$ pour tout réel $x$ positif.

b. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}$.

$ =\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{(f(x)-f(x_0))g(x)+f(x_0)(g(x)-g(x_0))}{x-x_0} =f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0). $

D’où $(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ pour tout réel $x$.

c. $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x_0) =\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x_0)}{g(x_0)}}{x-x_0} =\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{\dfrac{f(x)g(x_0)-g(x)f(x_0)}{g(x)g(x_0)}}{x-x_0}$.

$ =\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x)g(x_0)-g(x)f(x_0)+f(x_0)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)} {g(x)g(x_0)(x-x_0)} $

$ =\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{g(x_0)(f(x)-f(x_0))-f(x_0)(g(x)-g(x_0))} {g(x)g(x_0)(x-x_0)} $

$ =\lim\limits_{x\to x_0} \left( \dfrac{g(x_0)\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} -f(x_0)\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}} {g(x)g(x_0)} \right) =\dfrac{f'(x_0)g(x_0)-g'(x_0)f(x_0)}{(g(x_0))^2}. $

Donc $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}$.

RÉSUMÉ :

1) FONCTION DÉRIVÉE

Soit $K$ l’ensemble de dérivabilité de $f$. La fonction dérivée de $f$ sur $I$ est la fonction notée $f'$ qui, à tout point $x$ de $K$, associe son nombre dérivé $f'(x)$.

En effet, soit $x_0\in K$, $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

2) CALCUL DES DÉRIVÉES

Soit $f$ une fonction et $f'$ la dérivée de $f$. On a le tableau suivant :

Fonction	Fonction dérivée	Ensemble de dérivabilité
f(x) = k, k ∈ ℝ	f'(x) = 0	ℝ
f(x) = x	f'(x) = 1	ℝ
f(x) = x²	f'(x) = 2x	ℝ
f(x) = xⁿ, n ∈ ℕ*	f'(x) = n xⁿ⁻¹	ℝ
f(x) = 1/x, x ∈ ℝ*	f'(x) = −1/x²	ℝ*
f(x) = √x, x ≥ 0	f'(x) = 1 / (2√x)	]0 ; +∞[
f(x) = cos x	f'(x) = − sin x	ℝ
f(x) = sin x	f'(x) = cos x	ℝ
f(x) = tan x	f'(x) = 1 + tan²x	ℝ \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}

3) OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $k$ un nombre réel non nul. Les formules ci-dessous se démontrent de la même façon que dans l’activité.

Fonction	Fonction dérivée
f + g	f' + g'
fg	f'g + g'f
kf	kf'
f g	f'g − g'f g²
fⁿ	nf'fⁿ⁻¹
√f	f' 2√f
f(ax + b)	af'(ax + b)
f∘g	g' × f∘g

EXERCICE D’APPLICATION :

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions définies ci-dessous :

$f(x)=x^5+x^2+7$
$f(x)=(4x+7)(x-2)$
$f(x)=\dfrac{1}{3ax^7}$
$g(x)=\dfrac{2x-5}{x+3}$
$f(x)=(3x-4)^5$
$t(x)=\sqrt{3x^2+1}$
$h(x)=\sin(2x-5)$

LEÇON 3 : ÉQUATION DE LA TANGENTE À LA COURBE D’UNE FONCTION

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :

À la fin de cette leçon, l’élève doit être capable de :

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’une fonction ;
Déterminer l’approximation affine d’une fonction en un réel.

MOTIVATION :

Certains dessins d’art mettent en relief des droites tangentes à une courbe. En outre, la détermination de la direction du vecteur vitesse instantanée en un point de la trajectoire d’un mobile met aussi en relief la notion de tangente à la courbe. Dans cette leçon nous verrons comment déterminer une équation de cette tangente.

CONTRÔLE DES PRÉREQUIS :

Donner l’expression du coefficient directeur d’une droite $(AB)$ dans un repère orthonormé.
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$, définir $f'(x_0)$.
Soit $M(x\,;\,y)$ un point quelconque de la courbe $(C)$ d’une fonction $f$. Comparer $y$ et $f(x)$.
Comment est la direction de la vitesse vitesse en tout point d’une trajectoire d’un mobile ?

SITUATION PROBLÈME :

La trajectoire d’un mobile dans un plan est représentée par la figure ci-dessous. Comment déterminer et représenter la direction exacte du vecteur vitesse $\vec{v_0}$ en un point $M_0$ quelconque de cette trajectoire ?

Illustration de la dérivée : trajectoire d’un point et vecteur vitesse en un point

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :

Soit $(C_f)$ la courbe d’une fonction dérivable, soit $(T)$ une droite coupant $(C_f)$ en deux points $M_0$ et $M$ d’abscisses respectives $x_0$ et $x$ comme l’indique la figure ci-dessous dans un repère orthonormé

Illustration de la dérivée : courbe Cf, tangente (T) et points M0 et M

Rappeler l’expression du coefficient directeur $a$ de la droite $(T)$ passant par $M$ et $M_0$.
En déduire l’expression de $y$ en fonction de $a$, $(x-x_0)$ et $y_0$.
Donner la valeur de $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
En déduire la valeur de $a$ lorsque $x$ tend vers $x_0$.
Comment appelle-t-on la droite $(T)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ ? Donner son équation cartésienne.
Quelle est donc la direction exacte du vecteur vitesse instantanée en $M_0$ ?

SOLUTION :

Puisque $M(x)$ et $M_0(x_0)$ appartiennent à $(T)$, on a $a=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}$ avec $y=f(x)$ et $y_0=f(x_0)$.
D’où $y-y_0=a(x-x_0)$, donc $y=a(x-x_0)+y_0$.
$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$ car $f$ est dérivable.
Lorsque $x$ tend vers $x_0$, on a $a=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$.
Lorsque $x$ tend vers $x_0$, $M(x)$ et $M_0(x_0)$ sont confondus et la droite $(T)$ est appelée tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $x_0$. Son équation est $y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0$.
La direction exacte du vecteur vitesse instantanée en $M_0$ est celle de la tangente en $M_0$ à la trajectoire.

Illustration de la dérivée : tangente (T) à la courbe en un point M₀ et vecteur vitesse

RÉSUMÉ

1) ÉQUATION DE LA TANGENTE À LA COURBE D’UNE FONCTION

Soit $f$ une fonction, $(C)$ sa courbe représentative et $A$ un point de $(C)$ d’abscisse $x_0$. Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $(C)$ admet en $A$ une tangente $(T)$ dont le coefficient directeur est $f'(x_0)$. La tangente $(T)$ à $(C)$ en $x_0$ est d’équation : $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

EXEMPLE :

Soit $f(x)=x^2$, $f$ est dérivable en $x_0=2$ et $f'(2)=4$ alors sa courbe représentative admet en $2$ une tangente $(T)$ d’équation $(T) : y=4x-4$.

REMARQUE :

Si $f'(x_0)=0$, alors $(C)$ admet au point d’abscisse $x_0$ une tangente parallèle à l’axe des abscisses (tangente horizontale) d’équation $y=f(x_0)$.

Illustration de la dérivée : minimum de la courbe Cf, point M0 et droite horizontale y = f(x0)

Lorsqu’une fonction $f$ admet en un point d’abscisse $x_0$ un point anguleux, alors sa courbe admet deux demi-tangentes de coefficients directeurs $f'_g(x_0)$ et $f'_d(x_0)$ d’équations cartésiennes respectives :
$(T_g):\ y=f'_g(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$,
$(T_d):\ y=f'_d(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Illustration de la dérivée : tangentes gauche Tg et droite Td à la courbe Cf en M0

Si $f$ n’est pas dérivable au point d’abscisse $x_0$, alors $(C)$ admet en ce point une tangente parallèle à l’axe des ordonnées (tangente verticale).

2) APPROXIMATION AFFINE D’UNE FONCTION

$f$ étant une fonction numérique dérivable en $x_0$, la fonction affine tangente à $f$ en $x_0$, $h$, est la meilleure approximation affine de $f$ au voisinage de $x_0$. En d’autres termes, $h$ est définie par :

$h(x_0)=f(x_0)$ et $h(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

EXERCICE D’APPLICATION

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-2x-2}{x+1}$.

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x=3$.

LEÇON 4 : SENS DE VARIATION

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :

À la fin de cette leçon, l’élève doit être capable de :

déterminer le sens de variation d’une fonction ;
dresser le tableau de variation d’une fonction ;
déterminer les extrema d’une fonction.

MOTIVATION :

Certaines grandeurs telles le coût de production d’un bien matériel, la balance commerciale d’un pays sont exprimées par des fonctions. La connaissance de leur sens de variation permet de prévoir l’évolution de ces grandeurs en croissance, décroissance ou constante. Cette leçon nous permettra de savoir comment étudier une fonction usuelle.

CONTRÔLE DES PRÉREQUIS :

Soit $f$ une fonction croissante sur $[2;9]$, comparer $f(3)$ et $f(6)$.
Soit $f$ une fonction décroissante sur $[2;9]$, comparer $f(3)$ et $f(6)$.
Soit $f$ une fonction constante sur $[2;9]$, comparer $f(3)$ et $f(6)$.
Calculer la dérivée de $f(x)=3x^2-5x+5$ et étudier son signe.

SITUATION PROBLÈME :

Le service comptable d’une entreprise de fabrication de jouets utilise une estimation du coût de production en centaines de francs de $x$ jouets par l’expression $f(x)=x^2+4x$. Comment varie ce coût lorsque le nombre de jouets fabriqués augmente ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE 1 :

Soit une fonction $f$ numérique à variable réelle dérivable sur un ensemble $K$. $x_0$ et $x$ deux éléments quelconques d’un intervalle $I$ inclus dans $K$.

1) On suppose que $f$ est croissante sur $I$ et que $x<x_0$.

a) Comparer $f(x)$ et $f(x_0)$ puis donner le signe du quotient $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

b) En déduire le signe de $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

2) On suppose que $f$ est décroissante sur $I$ et que $x<x_0$.

a) Comparer $f(x)$ et $f(x_0)$ puis donner le signe du quotient $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

b) En déduire le signe de $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

3) On suppose que $f$ est constante sur $I$ et que $x<x_0$.

a) Comparer $f(x)$ et $f(x_0)$ puis donner le signe du quotient $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

b) En déduire le signe de $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

SOLUTION :

1) a/ $f(x)<f(x_0)$ car $f$ est croissante sur $I$ et $x<x_0$, d’où $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$ car $f(x)-f(x_0)<0$ et $x-x_0<0$.

b/ $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$ car $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$ pour tout $x$ et $x_0$ de $I$.

2) a/ $f(x)>f(x_0)$ car $f$ est décroissante sur $I$ et $x<x_0$, d’où $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0$ car $f(x)-f(x_0)>0$ et $x-x_0<0$.

b/ $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0$ car $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0$ pour tout $x$ et $x_0$ de $I$.

3) a/ $f(x)=f(x_0)$ car $f$ est constante sur $I$ et $x<x_0$, d’où $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$ car $f(x)-f(x_0)=0$ et $x-x_0<0$.

b/ $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$ car $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$ pour tout $x$ et $x_0$ de $I$.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE 2 :

Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2+4x$.

Déterminer le domaine de définition de $g$.
Déterminer les limites aux bornes de ce domaine.
Calculer la dérivée $g'(x)$ pour tout réel $x$ de ce domaine.
Étudier le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Déduire les intervalles sur lesquels $g$ est croissante ou décroissante. Les valeurs de $g(x)$ augmentent-elles lorsque $x$ augmente sur $]0;+\infty[$ ?
Dresser le tableau de variation de $g$.

SOLUTION :

1/ Le domaine de $g$ est $\mathbb{R}$.

2/ $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=+\infty$.

3/ $g$ est dérivable comme fonction polynôme et on a : $g'(x)=2x+4$ pour tout réel $x$.

Tableau de signes de l’expression 4x + 4 sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[

D’où pour tout $x\in]-\infty;-2]$, $g'(x)\le 0$ ; $g$ est donc décroissante.

Pour $x\in[-2;+\infty[$, $g'(x)\ge 0$ ; $g$ est donc croissante.

Puisque $]0;+\infty[$ est inclus dans $[-2;+\infty[$ et que $g$ y est croissante, alors les valeurs de $g(x)$ augmentent lorsque celles de $x$ augmentent aussi.

5/ Tableau de variation :

Tableau de variations de la fonction g avec le signe de g'(x)

RÉSUMÉ :

1) SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION :

Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un ensemble $K$, $I$ un intervalle de $K$.

$f$ est croissante sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)>0$.

$f$ est décroissante sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)<0$.

$f$ est constante sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$.

2) TABLEAU DE VARIATION D’UNE FONCTION :

C’est un tableau qui indique :

le domaine de définition d’une fonction ;
le signe de la dérivée de cette fonction ;
le sens de variation de cette fonction ;
les limites aux bornes de son domaine.

x	domaine de définition et les valeurs qui annulent la fonction dérivée f’(x)
f’(x)	Signe de la fonction dérivée f’(x)
f(x)	les limites de la fonction, les extremums, les flèches représentant le sens de variation de f dans chaque intervalle.

EXEMPLE :

Compléter le signe de la fonction dérivée de $f$ dans le tableau suivant et donner les limites aux bornes de son domaine de définition.

Tableau de variations d’une fonction f avec le signe de f'(x) et discontinuité

SOLUTION :

Le domaine de définition est $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$.

Sur les intervalles $]-\infty;-3]$ et $[-1;+\infty[$, $f'$ est positive et $f$ est croissante.

Sur les intervalles $]-3;-2[$ et $]-2;-1[$, $f'$ est négative et $f$ est décroissante.

$f'$ s’annule en $-3$ et $-1$.

$\lim\limits_{x\to -2^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -2^+} f(x)=+\infty$.

$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.

3) EXTREMA D’UNE FONCTION

Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un ensemble $K$, $x_0$ un réel de $K$. $f$ admet au point $M_0$ d’abscisse $x_0$ un extremum relatif si $f'(x_0)=0$ et change de sens de variation en $x_0$. Il existe deux types d’extremum : maximum relatif et minimum relatif.

Extremum d’une fonction : minimum et maximum relatifs atteints en x0 lorsque f'(x0)=0

EXERCICE D’APPLICATION

1) Dresser le tableau de variation des fonctions définies par :

$f(x)=2x^3+5x^2-4$ ; $g(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ ; $h(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x+2}$.

2) Pour chacune d’elles donner si possible les extrema et les valeurs en lesquelles ils sont atteints.

LEÇON 5 : REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :

À la fin de cette leçon, l’élève devra être capable de :

Déterminer par leurs équations les asymptotes parallèles aux axes, à une courbe d’une fonction numérique.
Montrer qu’une droite donnée est asymptote oblique à la courbe d’une fonction.
Étudier et représenter graphiquement les fonctions homographiques, polynômes de degré inférieur ou égal à $3$.
Étudier et représenter graphiquement les fonctions du type $x\mapsto\dfrac{ax^2+bx+c}{ex+d}$.

MOTIVATION :

La prévision à long terme ou de façon ponctuelle nécessite des outils d’analyse dans le cas de certains phénomènes dont l’évolution est assimilable à une fonction. Dans cette leçon nous verrons l’interprétation des asymptotes qui caractérisent le comportement de la courbe d’une fonction à l’infini ou en un réel et leurs rôles dans sa représentation graphique.

CONTRÔLE DES PRÉREQUIS :

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{-3x^2+2x+7}{x-1}$, calculer ses limites aux bornes de son domaine.

Étudier le sens de variation de la fonction $g$ définie ci-dessus.

Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.

SITUATION PROBLÈME :

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2+3x+3}{x+2}$. Comment se comporte la courbe représentative de cette fonction au voisinage de $-2$, $+\infty$ et $-\infty$ ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2-2x-2}{x+1}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$.
Calculer les limites aux bornes de $D_f$.
Montrer que pour tout $x$ de $D_f$, $f(x)=x-3+\dfrac{1}{x+1}$.
a) Montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(x-3)]=0$, interpréter graphiquement.
b) Montrer que $\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(x-3)]=0$, interpréter graphiquement.
c) Interpréter graphiquement les limites $\lim\limits_{x\to -1^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -1^+} f(x)=+\infty$.
a) Calculer la dérivée $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$.
b) Dresser le tableau de variation de $f$.
Tracer la courbe représentative de $f$.

SOLUTION :

1- Domaine de définition : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$.

2- Limites

$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.

$\lim\limits_{x\to -1} f(x) \left( \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to -1} x^2-2x-2=1 \\ \lim\limits_{x\to -1} x+1=0 \end{array} \right)$ Ainsi $\lim\limits_{x\to -1^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -1^+} f(x)=+\infty$.

3- Par division euclidienne, pour tout $x$ de $D_f$ : $f(x)=x-3+\dfrac{1}{x+1}$.

4.a) $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(x-3)] =\lim\limits_{x\to +\infty}\left[x-3+\dfrac{1}{x+1}-(x-3)\right] =\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x+1}=0$.

La courbe de $f$ et la droite $(D)$ d’équation $y=x-3$ sont très proches quand $x$ tend vers $+\infty$, on dit que $(D)$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$.

b) $\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(x-3)] =\lim\limits_{x\to -\infty}\left[x-3+\dfrac{1}{x+1}-(x-3)\right] =\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x+1}=0$.

La courbe de $f$ et la droite $(D)$ d’équation $y=x-3$ sont très proches quand $x$ tend vers $-\infty$, on dit que $(D)$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $-\infty$.

c) $\lim\limits_{x\to -1^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -1^+} f(x)=+\infty$ signifient qu’au voisinage de $-1$, la courbe de $f$ et la droite $(L)$ d’équation $x=-1$ sont très proches.

5.a) Dérivée et sens de variation

Pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, $f$ est dérivable et $f'(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.

Pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, $f'(x)=0$ alors $x=0$ ou $x=-2$.

Tableau de signe de la fonction dérivée :

Tableau de signes de la dérivée f'(x) avec changements de signe

Alors :

Pour tout $x\in]-\infty;-2[\cup]0;+\infty[$, $f'(x)<0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante ;

Pour tout $x\in]-2;-1[\cup]-1;0[$, $f'(x)>0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante ;

Pour tout $x\in\{-2;0\}$, $f'(x)=0$ alors la fonction $f$ est constante.

b) Tableau de variation

Tableau de variations de la fonction f à partir du signe de sa dérivée f'(x)

6. Courbe représentative de f

Illustration de la dérivée : courbe Cf avec asymptote verticale (L) et asymptote oblique (D)

RESUME :

1) ASYMPTOTE OBLIQUE :

Si $\lim\limits_{x\to \pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$ alors la droite d’équation $y=ax+b$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $\pm\infty$.

Illustration de la dérivée : droite tangente de la forme y = ax + b à la courbe

2) ASYMPTOTE HORIZONTALE :

Si $\lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x)=b$, alors la droite d’équation $y=b$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $\pm\infty$.

Illustration de la dérivée : asymptote horizontale y = b de la courbe Cf

3) ASYMPTOTE VERTICALE :

Si $ \lim_{x \to a} f(x) = +\infty $ ou si $ \lim_{x \to a} f(x) = -\infty $, alors la droite d’équation $ x = a $ est une asymptote verticale à la courbe de $ f $.

Illustration de la dérivée : asymptote verticale x = a de la courbe Cf

REMARQUE :

Le point d’intersection de toutes les asymptotes, lorsqu’elles existent, est le centre de symétrie de la courbe de cette fonction.

4) ÉTAPES DE L’ÉTUDE D’UNE FONCTION POLYNÔME OU RATIONNELLE :

déterminer le domaine de définition ;
déterminer les limites aux bornes du domaine de définition ;
déterminer ou justifier l’existence des asymptotes ;
déterminer le sens de variation et dresser le tableau de variation ;
déterminer ou justifier l’existence des éléments de symétries ;
déterminer l’équation de certaines tangentes ;
déterminer les points de rencontre avec les axes et dresser une table des valeurs ;
tracer soigneusement la courbe.

EXERCICE D’APPLICATION

EXERCICE 1 :

On considère la fonction $h$ définie par $h(x)=-x+1+\dfrac{1}{x}$.

Calculer ses limites aux bornes du domaine de $h$.
Soit $(D)$ la droite d’équation $y=-x+1$.
1. Étudier la position relative de $(C_h)$ et $(D)$.
2. Montrer que $(D)$ est asymptote oblique à la courbe de $h$.
3. Justifier que la droite $(L)$ d’équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe de $h$.
4. Montrer que le point d’intersection de $(D)$ et $(L)$ est le centre de symétrie de la courbe de $h$.
Écrire l’équation de la tangente $(T)$ à $(C_h)$ au point d’abscisse $2$.
Étudier le sens de variation de $h$.
Dresser le tableau de variation de $h$.
Tracer $(D)$, $(T)$, $(L)$ et la courbe de $h$ dans un repère orthonormé.

EXERCICE 2 :

Le tableau de variation incomplet ci-dessous est celui d’une fonction $f$.

Tableau de variations d’une fonction f avec étude du signe de f'(x) et discontinuité

Déterminer le domaine de définition de $f$.
Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
Déterminer l’équation de l’asymptote verticale à la courbe de $f$.
Compléter le signe de $f'(x)$.
Dresser le tableau de variation de la fonction $t$ définie par $t(x)=-f(x)$.
On suppose que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2}$.
1. Déterminer $f'(-3)$ ; $f(-1)$ et $f(-3)$.
2. En déduire les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
3. Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty}\big(f(x)-(x+1)\big)$ et en déduire l’équation de l’asymptote oblique à la courbe de $f$.
Tracer les courbes de $f$ et de $t$ dans un repère orthonormé.

EXERCICE 3 :

Le graphe $(C_f)$ ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction $f$.

Illustration de la dérivée : courbe Cf avec asymptotes et droites (D1) et (D2)

Donner le domaine de définition de la fonction $f$.
1. Déterminer graphiquement les limites de $f$ quand :
  - $x$ tend vers $+\infty$ ;
  - $x$ tend vers $-\infty$ ;
  - $x$ tend vers $1$ (à gauche et à droite).
2. Résoudre graphiquement les équations suivantes : $f'(x)=0$ ; $f(x)=0$ ; $f(x)=3$.
3. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : $f'(x)\ge 0$ ; $f(x)\ge 0$.
1. Dresser le tableau de variation de $f$.
2. Donner les différentes asymptotes à $(C_f)$ et donner une équation cartésienne de chacune d’elles.
3. Donner l’expression $f(x)$ de $f$ sachant qu’elle est de la forme $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x+c}$.

Conclusion

Vous avez maintenant une vision claire de ce chapitre : comprendre la dérivabilité, calculer une dérivée, tracer une tangente, puis lire le sens de variation pour réussir un bon graphique. Avec ces outils, une courbe devient facile à expliquer, même quand l’exercice paraît long. Prenez le temps d’avancer leçon par leçon, et notez les idées principales dans votre cahier. Courage à vous, élèves africains : avec une méthode simple et régulière, vous pouvez progresser vite et gagner des points aux examens.