DÉRIVABILITÉ ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION

LEÇON 1 : DÉFINITION DE LA DÉRIVABILITÉ

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES SPÉCIFIQUES :

À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :

• Définir le nombre dérivé d’une fonction en un réel.
• Étudier la dérivabilité d’une fonction en un point et dans un intervalle.

MOTIVATION

La notion de dérivée peut permettre de déterminer la vitesse d’un mobile en un instant donné. Dans cette leçon nous verrons comment déterminer le nombre dérivé d’une grandeur pour une inconnue particulière.

PRÉREQUIS :

Calculer les limites $\lim\limits_{x\to -3}\dfrac{x^2-9}{x+3}$ ; $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sqrt{x}}{x}$ ; $\lim\limits_{x\to -1}(7x+9)$.

SITUATION PROBLÈME :

Un véhicule en mouvement rectiligne a une équation horaire $x(t)=3t+2$ où $t$ est en seconde. Déterminer sa vitesse à l’instant $t=5\,\text{min}$.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies par $f(x)=3x+2$ et $g(x)=\sqrt{x}$.

1. Déterminer leurs domaines de définition.
2. 1. Calculer $\lim\limits_{x\to 300} f(x)$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)$.
   2. $f$ et $g$ sont-elles continues en $300$ et $0$ respectivement ?
3. 1. Calculer $\lim\limits_{x\to 300^+}\frac{f(x)-f(300)}{x-300}$, $\lim\limits_{x\to 300^-}\frac{f(x)-f(300)}{x-300}$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$.
   2. Lesquelles de ces trois limites sont-elles réelles ? Comparez-les.

4) En physique, la vitesse instantanée à un instant $t_0$ est définie par $x'(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0}\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}$ où $x(t)$ est le déplacement en fonction du temps $t$ en seconde.

1. Si $x(t)=3t+2$ et $t_0=5\,\text{min}$, alors déduire la vitesse du mobile $x'(t_0)$ après $5\,\text{min}$ de mouvement.
2. Que représente $x'(300)$ pour $x(t)$ ?

SOLUTION

Le domaine de $f$ est $\mathbb{R}$ et celui de $g$ est $[0,+\infty[$.

1) a/ $\lim\limits_{x\to 300} f(x)=902$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=0$.

b/ $f$ est continue en $300$ car $\lim\limits_{x\to 300} f(x)=f(300)$ et $g$ est continue en $0$ car $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=g(0)$.

2) a/ $\lim\limits_{x\to 300^+}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^+}\dfrac{3x+2-902}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^+}\dfrac{3(x-300)}{x-300}=3$

$\lim\limits_{x\to 300^-}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^-}\dfrac{3x+2-902}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^-}\dfrac{3(x-300)}{x-300}=3$

$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0} =\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sqrt{x}}{x} =\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$

b/ $\lim\limits_{x\to 300^+}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300} =\lim\limits_{x\to 300^-}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300} =3\in\mathbb{R}$.

4) a/ Comme $5\,\text{min}=300\,\text{s}$, on a $x'(300)=\lim\limits_{t\to 300}\dfrac{x(t)-x(300)}{t-300}=3$ d’après 3a/.

b/ $x'(300)$ représente le nombre dérivé de $x$ en $300$.

RÉSUMÉ

1) NOMBRE DÉRIVÉ EN UN POINT $x_0$

DÉFINITION :

Soit $f$ une fonction définie dans un intervalle $I$ et $x_0\in I$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ est finie (c’est-à-dire $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a\in\mathbb{R}$). Si $f$ est dérivable en $x_0$ alors le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ est le réel $f'(x_0)$ tel que $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

EXEMPLES :

1) La fonction $f$ de l’activité est dérivable en $300$ car $\lim\limits_{x\to 300}\dfrac{f(x)-f(300)}{x-300}=3$ et le nombre dérivé de $f$ en $300$ est $f'(300)=3$ tandis que la fonction $g$ n’est pas dérivable en $0$ car $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=+\infty$.

2) Soit la fonction définie par $h(x)=x^2$. Pour $x_0=2$, on a $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{h(x)-h(2)}{x-2}=4$. Alors $h$ est dérivable en $x_0=2$ et le nombre dérivé en $x_0=2$ est $h'(2)=4$.

REMARQUE :

L’expression $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ est appelée taux de variation de $f$ en $x_0$.

PROPRIÉTÉS :

P1 : Soit $f$ une fonction. Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $f$ est continue en $x_0$. La réciproque est fausse.

EXEMPLE : La fonction $f(x)=\sqrt{x}$ est continue en $0$ mais n’est pas dérivable en $0$.

P2 : On dit qu’une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ ($I\subset D_f$) si elle est dérivable en tout point $x_0$ de $I$.

EXEMPLES :

• Toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$.
• Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

2) DÉRIVABILITÉ À GAUCHE – DÉRIVABILITÉ À DROITE

DÉFINITION

Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ à droite si $\lim\limits_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'_d(x_0)$ est un réel.

Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ à gauche si $\lim\limits_{x\to x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'_g(x_0)$ est un réel.

Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en $x_0$ et le nombre dérivé de $f$ à gauche en $x_0$ est égal au nombre dérivé de $f$ à droite en $x_0$, c’est-à-dire $f'_d(x_0)=f'_g(x_0)$.

REMARQUE :

Si une fonction $f$ est dérivable à gauche et à droite de $x_0$ sans être dérivable en $x_0$ alors la courbe de $f$ admet en $x_0$ deux demi-tangentes. Dans ce cas, le point d’abscisse $x_0$ est appelé point anguleux.

EXEMPLE :

Étudier la dérivabilité de la fonction $f(x)=|x|$ en $x_0=0$.

On a $ f(x)= \begin{cases} -x & \text{si } x<0 \\ x & \text{si } x>0 \\ 0 & \text{si } x=0 \end{cases} $ alors :

• $\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{-x-0}{x} =-1$ : $f$ est dérivable à gauche de $0$.
• $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x-0}{x} =1$ : $f$ est dérivable à droite de $0$.

Comme $\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} \neq \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$, alors $f$ n’est pas dérivable en $0$. Par conséquent, sa courbe représentative admet en $0$ un point anguleux.

EXERCICES D’APPLICATION

Fonction	Fonction dérivée
$\dfrac{f}{g}$	$\dfrac{f'g-g'f}{g^2}$
$f^n$	$nf'f^{\,n-1}$
$\sqrt{f}$	$\dfrac{f'}{2\sqrt{f}}$
$f(ax+b)$	$af'(ax+b)$
$f\circ g$	$g'\times f\circ g$

EXERCICE D’APPLICATION :

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions définies ci-dessous :

• $f(x)=x^5+x^2+7$
• $f(x)=(4x+7)(x-2)$
• $f(x)=\dfrac{1}{3ax^7}$
• $g(x)=\dfrac{2x-5}{x+3}$
• $f(x)=(3x-4)^5$
• $t(x)=\sqrt{3x^2+1}$
• $h(x)=\sin(2x-5)$

LEÇON 3 : ÉQUATION DE LA TANGENTE À LA COURBE D’UNE FONCTION

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :

À la fin de cette leçon, l’élève doit être capable de :

• Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’une fonction ;
• Déterminer l’approximation affine d’une fonction en un réel.

MOTIVATION :

Certains dessins d’art mettent en relief des droites tangentes à une courbe. En outre, la détermination de la direction du vecteur vitesse instantanée en un point de la trajectoire d’un mobile met aussi en relief la notion de tangente à la courbe. Dans cette leçon nous verrons comment déterminer une équation de cette tangente.

CONTRÔLE DES PRÉREQUIS :

1. Donner l’expression du coefficient directeur d’une droite $(AB)$ dans un repère orthonormé.
2. Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$, définir $f'(x_0)$.
3. Soit $M(x)$ un point quelconque de la courbe $(C)$ d’une fonction $f$. Comparer $y$ et $f(x)$.
4. Comment est la direction de la vitesse vitesse en tout point d’une trajectoire d’un mobile ?

SITUATION PROBLÈME :

La trajectoire d’un mobile dans un plan est représentée par la figure ci-dessous. Comment déterminer et représenter la direction exacte du vecteur vitesse $\vec{v_0}$ en un point $M_0$ quelconque de cette trajectoire ?

(Figure illustrative de la trajectoire et du vecteur vitesse)

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :

Soit $(C_f)$ la courbe d’une fonction dérivable, soit $(T)$ une droite coupant $(C_f)$ en deux points $M_0$ et $M$ d’abscisses respectives $x_0$ et $x$ comme l’indique la figure ci-dessous dans un re

1. Rappeler l’expression du coefficient directeur $a$ de la droite $(T)$ passant par $M$ et $M_0$.
2. En déduire l’expression de $y$ en fonction de $a$, $(x-x_0)$ et $y_0$.
3. Donner la valeur de $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
4. En déduire la valeur de $a$ lorsque $x$ tend vers $x_0$.
5. Comment appelle-t-on la droite $(T)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ ? Donner son équation cartésienne.
6. Quelle est donc la direction exacte du vecteur vitesse instantanée en $M_0$ ?

SOLUTION :

1. Puisque $M(x)$ et $M_0(x_0)$ appartiennent à $(T)$, on a $a=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}$ avec $y=f(x)$ et $y_0=f(x_0)$.
2. D’où $y-y_0=a(x-x_0)$, donc $y=a(x-x_0)+y_0$.
3. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$ car $f$ est dérivable.
4. Lorsque $x$ tend vers $x_0$, on a $a=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$.
5. Lorsque $x$ tend vers $x_0$, $M(x)$ et $M_0(x_0)$ sont confondus et la droite $(T)$ est appelée tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $x_0$. Son équation est $y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0$.
6. La direction exacte du vecteur vitesse instantanée en $M_0$ est celle de la tangente en $M_0$ à la trajectoire.

(Figure illustrant la tangente à la courbe et le vecteur vitesse)

RÉSUMÉ

1) ÉQUATION DE LA TANGENTE À LA COURBE D’UNE FONCTION

Soit $f$ une fonction, $(C)$ sa courbe représentative et $A$ un point de $(C)$ d’abscisse $x_0$. Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $(C)$ admet en $A$ une tangente $(T)$ dont le coefficient directeur est $f'(x_0)$. La tangente $(T)$ à $(C)$ en $x_0$ est d’équation : $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

EXEMPLE :

Soit $f(x)=x^2$, $f$ est dérivable en $x_0=2$ et $f'(2)=4$ alors sa courbe représentative admet en $2$ une tangente $(T)$ d’équation $(T) : y=4x-4$.

REMARQUE :

Si $f'(x_0)=0$, alors $(C)$ admet au point d’abscisse $x_0$ une tangente parallèle à l’axe des abscisses (tangente horizontale) d’équation $y=f(x_0)$.

(Figure illustrant une tangente horizontale)

• Lorsqu’une fonction $f$ admet en un point d’abscisse $x_0$ un point anguleux, alors sa courbe admet deux demi-tangentes de coefficients directeurs $f'_g(x_0)$ et $f'_d(x_0)$ d’équations cartésiennes respectives :
  $(T_g):\ y=f'_g(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$,
  $(T_d):\ y=f'_d(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

• Si $f$ n’est pas dérivable au point d’abscisse $x_0$, alors $(C)$ admet en ce point une tangente parallèle à l’axe des ordonnées (tangente verticale).

2) APPROXIMATION AFFINE D’UNE FONCTION

$f$ étant une fonction numérique dérivable en $x_0$, la fonction affine tangente à $f$ en $x_0$, $h$, est la meilleure approximation affine de $f$ au voisinage de $x_0$. En d’autres termes, $h$ est définie par :

$h(x_0)=f(x_0)$  et  $h(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

EXERCICE D’APPLICATION

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-2x-2}{x+1}$.

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x=3$.

LEÇON 4 : SENS DE VARIATION

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :

À la fin de cette leçon, l’élève doit être capable de :

• déterminer le sens de variation d’une fonction ;
• dresser le tableau de variation d’une fonction ;
• déterminer les extrema d’une fonction.

MOTIVATION :

Certaines grandeurs telles le coût de production d’un bien matériel, la balance commerciale d’un pays sont exprimées par des fonctions. La connaissance de leur sens de variation permet de prévoir l’évolution de ces grandeurs en croissance, décroissance ou constante. Cette leçon nous permettra de savoir comment étudier une fonction usuelle.

CONTRÔLE DES PRÉREQUIS :

1. Soit $f$ une fonction croissante sur $[2;9]$, comparer $f(3)$ et $f(6)$.
2. Soit $f$ une fonction décroissante sur $[2;9]$, comparer $f(3)$ et $f(6)$.
3. Soit $f$ une fonction constante sur $[2;9]$, comparer $f(3)$ et $f(6)$.
4. Calculer la dérivée de $f(x)=3x^2-5x+5$ et étudier son signe.

SITUATION PROBLÈME :

Le service comptable d’une entreprise de fabrication de jouets utilise une estimation du coût de production en centaines de francs de $x$ jouets par l’expression $f(x)=x^2+4x$. Comment varie ce coût lorsque le nombre de jouets fabriqués augmente ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE 1 :

Soit une fonction $f$ numérique à variable réelle dérivable sur un ensemble $K$. $x_0$ et $x$ deux éléments quelconques d’un intervalle $I$ inclus dans $K$.

1) On suppose que $f$ est croissante sur $I$ et que $x

a) Comparer $f(x)$ et $f(x_0)$ puis donner le signe du quotient $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

b) En déduire le signe de $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

2) On suppose que $f$ est décroissante sur $I$ et que $x

a) Comparer $f(x)$ et $f(x_0)$ puis donner le signe du quotient $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

b) En déduire le signe de $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

3) On suppose que $f$ est constante sur $I$ et que $x

a) Comparer $f(x)$ et $f(x_0)$ puis donner le signe du quotient $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

b) En déduire le signe de $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

SOLUTION :

1) a/ $f(x)0$ car $f(x)-f(x_0)<0$ et $x-x_0<0$.

b/ $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$ car $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$ pour tout $x$ et $x_0$ de $I$.

2) a/ $f(x)>f(x_0)$ car $f$ est décroissante sur $I$ et $x0$ et $x-x_0<0$.

b/ $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0$ car $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0$ pour tout $x$ et $x_0$ de $I$.

3) a/ $f(x)=f(x_0)$ car $f$ est constante sur $I$ et $x

b/ $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$ car $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$ pour tout $x$ et $x_0$ de $I$.

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE 2 :

Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2+4x$.

1. Déterminer le domaine de définition de $g$.
2. Déterminer les limites aux bornes de ce domaine.
3. Calculer la dérivée $g'(x)$ pour tout réel $x$ de ce domaine.
4. Étudier le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
5. Déduire les intervalles sur lesquels $g$ est croissante ou décroissante. Les valeurs de $g(x)$ augmentent-elles lorsque $x$ augmente sur $]0;+\infty[$ ?
6. Dresser le tableau de variation de $g$.

SOLUTION :

1/ Le domaine de $g$ est $\mathbb{R}$.

2/ $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=+\infty$.

3/ $g$ est dérivable comme fonction polynôme et on a : $g'(x)=2x+4$ pour tout réel $x$.

4/

$x$	$-\infty$	$-2$	$+\infty$
$2x+4$	$-$	$0$	$+$

D’où pour tout $x\in]-\infty;-2]$, $g'(x)\le 0$ ; $g$ est donc décroissante.

Pour $x\in[-2;+\infty[$, $g'(x)\ge 0$ ; $g$ est donc croissante.

Puisque $]0;+\infty[$ est inclus dans $[-2;+\infty[$ et que $g$ y est croissante, alors les valeurs de $g(x)$ augmentent lorsque celles de $x$ augmentent aussi.

5/ Tableau de variation :

$x$	$-\infty$	$-2$	$+\infty$
$g'(x)$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$+\infty$	$-4$	$+\infty$

RÉSUMÉ :

1) SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION :

Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un ensemble $K$, $I$ un intervalle de $K$.

$f$ est croissante sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)>0$.

$f$ est décroissante sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)<0$.

$f$ est constante sur $I$ si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$.

2) TABLEAU DE VARIATION D’UNE FONCTION :

C’est un tableau qui indique :

• le domaine de définition d’une fonction ;
• le signe de la dérivée de cette fonction ;
• le sens de variation de cette fonction ;
• les limites aux bornes de son domaine.

$x$	domaine de définition
$f'(x)$	signe de la fonction dérivée $f'(x)$
$f(x)$	les limites de la fonction, les extremums, les flèches représentant le sens de variation de $f$ dans chaque intervalle

EXEMPLE :

Compléter le signe de la fonction dérivée de $f$ dans le tableau suivant et donner les limites aux bornes de son domaine de définition.

$x$	$-\infty$	$-3$	$-2$	$-1$	$+\infty$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$-3$	$-\infty$	$1$	$+\infty$

SOLUTION :

Le domaine de définition est $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$.

Sur les intervalles $]-\infty;-3]$ et $[-1;+\infty[$, $f'$ est positive et $f$ est croissante.

Sur les intervalles $]-3;-2[$ et $]-2;-1[$, $f'$ est négative et $f$ est décroissante.

$f'$ s’annule en $-3$ et $-1$.

$\lim\limits_{x\to -2^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -2^+} f(x)=+\infty$.

$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.

3) EXTREMA D’UNE FONCTION

Soit $f$ une fonction numérique dérivable sur un ensemble $K$, $x_0$ un réel de $K$. $f$ admet au point $M_0$ d’abscisse $x_0$ un extremum relatif si $f'(x_0)=0$ et change de sens de variation en $x_0$. Il existe deux types d’extremum : maximum relatif et minimum relatif.

Dans les deux cas $f'(x_0)=0$.

$y_0$ est le minimum relatif atteint en $x_0$.

$y_0$ est le maximum relatif atteint en $x_0$.

EXERCICE D’APPLICATION

1) Dresser le tableau de variation des fonctions définies par :

$f(x)=2x^3+5x^2-4$ ; $g(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$ ; $h(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x+2}$.

2) Pour chacune d’elles donner si possible les extrema et les valeurs en lesquelles ils sont atteints.

LEÇON 5 : REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION

OBJECTIFS PÉDAGOGIQUES :

À la fin de cette leçon, l’élève devra être capable de :

• Déterminer par leurs équations les asymptotes parallèles aux axes, à une courbe d’une fonction numérique.
• Montrer qu’une droite donnée est asymptote oblique à la courbe d’une fonction.
• Étudier et représenter graphiquement les fonctions homographiques, polynômes de degré inférieur ou égal à $3$.
• Étudier et représenter graphiquement les fonctions du type $x\mapsto\dfrac{ax^2+bx+c}{ex+d}$.

MOTIVATION :

La prévision à long terme ou de façon ponctuelle nécessite des outils d’analyse dans le cas de certains phénomènes dont l’évolution est assimilable à une fonction. Dans cette leçon nous verrons l’interprétation des asymptotes qui caractérisent le comportement de la courbe d’une fonction à l’infini ou en un réel et leurs rôles dans sa représentation graphique.

CONTRÔLE DES PRÉREQUIS :

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{-3x^2+2x+7}{x-1}$, calculer ses limites aux bornes de son domaine.

Étudier le sens de variation de la fonction $g$ définie ci-dessus.

Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.

SITUATION PROBLÈME :

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2+3x+3}{x+2}$. Comment se comporte la courbe représentative de cette fonction au voisinage de $-2$, $+\infty$ et $-\infty$ ?

ACTIVITÉ D’APPRENTISSAGE :

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2-2x-2}{x+1}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$.
2. Calculer les limites aux bornes de $D_f$.
3. Montrer que pour tout $x$ de $D_f$, $f(x)=x-3+\dfrac{1}{x+1}$.
4. a) Montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(x-3)]=0$, interpréter graphiquement.
5. b) Montrer que $\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(x-3)]=0$, interpréter graphiquement.
6. c) Interpréter graphiquement les limites $\lim\limits_{x\to -1^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -1^+} f(x)=+\infty$.
7. a) Calculer la dérivée $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$.
8. b) Dresser le tableau de variation de $f$.
9. Tracer la courbe représentative de $f$.

SOLUTION :

1- Domaine de définition : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}=]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$.

2- Limites

$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.

$\lim\limits_{x\to -1} f(x) \left( \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to -1} x^2-2x-2=1 \\ \lim\limits_{x\to -1} x+1=0 \end{array} \right)$ Ainsi $\lim\limits_{x\to -1^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -1^+} f(x)=+\infty$.

3- Par division euclidienne, pour tout $x$ de $D_f$ : $f(x)=x-3+\dfrac{1}{x+1}$.

4.a) $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(x-3)] =\lim\limits_{x\to +\infty}\left[x-3+\dfrac{1}{x+1}-(x-3)\right] =\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x+1}=0$.

La courbe de $f$ et la droite $(D)$ d’équation $y=x-3$ sont très proches quand $x$ tend vers $+\infty$, on dit que $(D)$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $+\infty$.

b) $\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(x-3)] =\lim\limits_{x\to -\infty}\left[x-3+\dfrac{1}{x+1}-(x-3)\right] =\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x+1}=0$.

La courbe de $f$ et la droite $(D)$ d’équation $y=x-3$ sont très proches quand $x$ tend vers $-\infty$, on dit que $(D)$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $-\infty$.

c) $\lim\limits_{x\to -1^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -1^+} f(x)=+\infty$ signifient qu’au voisinage de $-1$, la courbe de $f$ et la droite $(L)$ d’équation $x=-1$ sont très proches.

5.a) Dérivée et sens de variation

Pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, $f$ est dérivable et $f'(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$.

Pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, $f'(x)=0$ alors $x=0$ ou $x=-2$.

Tableau de signe de la fonction dérivée :

$x$	$-\infty$	$-2$	$-1$	$0$	$+\infty$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Alors :

Pour tout $x\in]-\infty;-2[\cup]0;+\infty[$, $f'(x)<0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante ;

Pour tout $x\in]-2;-1[\cup]-1;0[$, $f'(x)>0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante ;

Pour tout $x\in\{-2;0\}$, $f'(x)=0$ alors la fonction $f$ est constante.

b) Tableau de variation

$x$	$-\infty$	$-2$	$-1$	$0$	$+\infty$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$-6$	$-\infty$	$-2$	$+\infty$

6. Courbe représentative de f

RESUME :

1) ASYMPTOTE OBLIQUE :

Si $\lim\limits_{x\to \pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$ alors la droite d’équation $y=ax+b$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ en $\pm\infty$.

ou

2) ASYMPTOTE HORIZONTALE :

Si $\lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x)=b$, alors la droite d’équation $y=b$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $\pm\infty$.

Exercice d'application

EXERCICE 1 :

On considère la fonction $h$ définie par $h(x)=-x+1+\dfrac{1}{x}$.

1. Calculer ses limites aux bornes du domaine de $h$.
2. Soit $(D)$ la droite d’équation $y=-x+1$.
   1. Étudier la position relative de $(C_h)$ et $(D)$.
   2. Montrer que $(D)$ est asymptote oblique à la courbe de $h$.
   3. Justifier que la droite $(L)$ d’équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe de $h$.
   4. Montrer que le point d’intersection de $(D)$ et $(L)$ est le centre de symétrie de la courbe de $h$.
3. Écrire l’équation de la tangente $(T)$ à $(C_h)$ au point d’abscisse $2$.
4. Étudier le sens de variation de $h$.
5. Dresser le tableau de variation de $h$.
6. Tracer $(D)$, $(T)$, $(L)$ et la courbe de $h$ dans un repère orthonormé.

EXERCICE 2 :

Le tableau de variation incomplet ci-dessous est celui d’une fonction $f$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
2. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
3. Déterminer l’équation de l’asymptote verticale à la courbe de $f$.
4. Compléter le signe de $f'(x)$.
5. Dresser le tableau de variation de la fonction $t$ définie par $t(x)=-f(x)$.
6. On suppose que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2}$.
   1. Déterminer $f'(-3)$ ; $f(-1)$ et $f(-3)$.
   2. En déduire les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
   3. Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty}\big(f(x)-(x+1)\big)$ et en déduire l’équation de l’asymptote oblique à la courbe de $f$.
7. Tracer les courbes de $f$ et de $t$ dans un repère orthonormé.

EXERCICE 3 :

Le graphe $(C_f)$ ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction $f$.

1. Donner le domaine de définition de la fonction $f$.
2. 1. Déterminer graphiquement les limites de $f$ quand :
      • $x$ tend vers $+\infty$ ;
      • $x$ tend vers $-\infty$ ;
      • $x$ tend vers $1$ (à gauche et à droite).
   2. Résoudre graphiquement les équations suivantes : $f'(x)=0$ ; $f(x)=0$ ; $f(x)=3$.
   3. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : $f'(x)\ge 0$ ; $f(x)\ge 0$.
3. 1. Dresser le tableau de variation de $f$.
   2. Donner les différentes asymptotes à $(C_f)$ et donner une équation cartésienne de chacune d’elles.
   3. Donner l’expression $f(x)$ de $f$ sachant qu’elle est de la forme $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x+c}$.